Perché $\boldsymbol\nabla\times(\boldsymbol\nabla\times\mathbf{u})\neq\boldsymbol\nabla(\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf{u})-\nabla^2\mathbf{u}$?

Question

È noto che per alcuni campi vettoriali $\mathbf{u}$ vale quanto segue: $$ \boldsymbol\nabla\times(\boldsymbol\nabla\times\mathbf{u})=\boldsymbol\nabla(\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf{u})-\nabla^2\mathbf{u}.$$

Consideriamo il seguente campo vettoriale in coordinate cilindriche con i vettori unitari $\hat{\mathbf{r}}, \hat{\boldsymbol\phi}, \hat{\mathbf{z}}$:

$$\mathbf{A}=0\hat{\mathbf{r}}+1\hat{\boldsymbol\phi}+0\hat{\mathbf{z}}.$$

Per la cornice di coordinate cilindriche sappiamo che divergenza, arricciatura e laplaciano sono scritti rispettivamente come:

$$\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf{A} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rA_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} + \frac{\partial A_z}{\partial z},$$ $$\boldsymbol\nabla\times\mathbf{A}=\left(\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial\phi}-\frac{\partial A_\phi}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{r}}+\left(\frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r}\right)\hat{\boldsymbol\phi}+\left(\frac{1}{r}\frac{\partial(rA_\phi)}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial A_r}{\partial \phi}\right)\hat{\mathbf{z}},$$ $$\nabla^2 =\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}.$$

Da un lato, per il lato sinistro utilizzando queste formule abbiamo:

$$\boldsymbol\nabla\times\hat{\boldsymbol{\phi}} = \frac{\hat{\mathbf{z}}}{r},$$ e

$$\boldsymbol\nabla\times\frac{\hat{\mathbf{z}}}{r}=\frac{\hat{\boldsymbol\phi}}{r^2}.$$

Tuttavia, d'altra parte, per il lato destro avremo zeri, perché tutti i parziali di $1$sono uguali a zero. Dove mi sbaglio?

Answer 1

$\nabla^2 =\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$ dovrebbe essere utilizzato solo per un campo scalare.

Per il campo vettoriale, invece, è facile verificare che il Laplaciano sia dato da:

$$\nabla^2 \mathbf{u}= \hat{\boldsymbol\rho}\left(\nabla^2 u_r-\frac{u_r}{r^2}-\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_\phi}{\partial \phi}\right)+\hat{\boldsymbol\phi}\left(\nabla^2 u_\phi-\frac{u_\phi}{r^2}+\frac{2}{r^2}\frac{\partial u_r}{\partial \phi}\right)+\hat{\mathbf{z}}\nabla^2u_z.$$

Per il campo vettoriale dato, abbiamo $u_r=u_z =0, u_\phi = 1$e Laplacian sarà uguale a $$\nabla^2 \hat{\boldsymbol{\phi}}=-\frac{\hat{\boldsymbol{\phi}}}{r^2}.$$

Quindi, significa questo $\boldsymbol\nabla\times(\boldsymbol\nabla\times\mathbf{u})=\frac{\hat{\boldsymbol{\phi}}}{r^2}=\boldsymbol\nabla(\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf{u})-\nabla^2\mathbf{u}=-(-\frac{\hat{\boldsymbol{\phi}}}{r^2})$, quindi l'identità vale.