Perché è$x(t)$non periodico ma$x[n]$è?
Ho studiato segnali e sistemi e mi sono imbattuto in questo problema.
Per definizione,$x(t)$denota segnale a tempo continuo e$x[n]$denota segnale a tempo discreto.
$x(t)$è periodica se esiste una costante$T>0$tale che$x(t) = x(t+T)$per tutti$t$è un sottoinsieme di numeri reali.
$x[n]$è periodica se esiste una costante$N>0$tale che$x[n] = x[n+N]$per tutti$n$è un sottoinsieme di numeri interi.
Poi mi sono imbattuto in questa domanda: perché lo è$x(t)$aperiodico?
$x(t) = \cos((\pi t^2)/8)$
Le lavorazioni che ho realizzato sono le seguenti:
$x(t+T) = \cos((\pi(t+T)^2)/8$
Assumere$x(t) = x(t+T)$
cioè$(\pi t^2)/8 + 2\pi k = (\pi(t+T)^2)/8$
$\Rightarrow t^2 + 16k = (t+T)^2 \Rightarrow 16k = T^2 + 2tT $
Considerando$k$è un numero intero, non è periodico? Per favore fatemi sapere se il mio calcolo è sbagliato.
Mi scuso se sto postando un argomento irrilevante e grazie per il tuo feedback.
Risposte
Hai mostrato*:
Se$x(t)$è periodico, allora ce n'è$T>0$tale che$\dfrac{T^2+2tT}{16}$è un numero intero per ogni reale$t$.
* Modifica: come sottolineato da @SHW nei commenti, questo non è del tutto vero. Piuttosto, dovrebbe esserlo
$x(t)$è periodico se e solo se ce ne sono$T > 0$tale che almeno uno di$\dfrac{T^2+2tT}{16}$o$\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16}$è un numero intero per ogni reale$t.$
Da$T \neq 0$, dovrebbe essere abbastanza evidente che ce ne saranno alcuni$t$tale che nessuna di queste espressioni renda un numero intero, a dimostrazione di ciò$x(t)$non è periodico.
Per dimostrarlo, si noti che, per ogni numero intero$k$, esiste un unico reale$t$tale che$\dfrac{T^2+2tT}{16} = k$e al massimo due numeri reali$t$tale che$\dfrac{T^2+2tT + 2t^2}{16} = k.$Poiché ci sono numerabili molti numeri interi, ce ne sono numerabili molti$t$tale che almeno uno di$\dfrac{T^2+2tT}{16}$o$\dfrac{T^2+2tT+2t^2}{16}$è un numero intero. Dal momento che ci sono innumerevoli numeri reali, ci deve essere qualche reale$t$tale che nessuna delle due espressioni restituisca un numero intero.
Come ho detto sopra, questo dimostra$x(t)$non è periodico.
D'altra parte, potremmo impostare ad es$T=8$per vederlo$\dfrac{T^2+2tT}{16}$è un numero intero ogni volta$t$è un numero intero, mostrando$x[n]$è periodico.
Permettere$x(t) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$. Se$x(t)$è periodico con$T$allora esiste$T \gt 0$tale che$x(t) = x(t+T)$per tutti$t \in \mathbb{R}$. Quindi in questo caso abbiamo$$\cos(\frac{\pi (t+T)^2}{8}) = \cos(\frac{\pi t^2}{8})$$Se$t = 0$poi$\cos(\frac{\pi T^2}{8}) = 1$. Differenziando entrambi i lati e let$t = 0$noi abbiamo$$ T\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$$Significa$T = 0$o$\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$. Il primo caso non è consentito, quindi concludiamo$\sin(\frac{\pi T^2}{8}) = 0$. Se distinguiamo due volte e ancora lasciamo$t = 0$poi$$-\frac{\pi}{16} (4 \sin(\frac{\pi T^2}{8}) + \pi T^2 \cos(\frac{\pi T^2}{8})) = 0$$La combinazione dei risultati porta al$T = 0$che non è consentito secondo$T \gt 0$. La motivazione per usare la differenziazione qui è questa$\frac{d}{dt}\cos(u(t)) = -u'(t)\sin(u(t))$che ci aiuta a ottenere$T$fuori da$\cos$funzione e raggiunge una contraddizione. Ovviamente la risposta di Brian è molto più elegante e non richiede calcoli derivativi.