Perché i set Borel di $\mathbb{R}$ uguale alla classe monotona generata dagli intervalli aperti?
Permettere $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ denotano i sottoinsiemi Borel di $\mathbb{R}$, e lascia $\mathcal{M}$ denotano la classe monotona generata da tutti gli intervalli aperti $(a,b) \subset \mathbb{R}$. Da$\mathcal{B}(\mathbb{R})$ è anche il file $\sigma$-campo generato dagli intervalli aperti, il teorema della classe monotona lo implica $\mathcal{B}(\mathbb{R}) = \mathcal{M}$.
Il Borel $\sigma$-field contiene tutti i sottoinsiemi aperti di $\mathbb{R}$, e quindi quanto sopra implica che $\mathcal{M}$deve pure. Tuttavia, non capisco perché questo derivi dalla definizione di$\mathcal{M}$. Ad esempio, come posso scrivere$(0,1) \cup (1,2)$ come l'unione numerabile di una sequenza crescente di intervalli aperti?
Modifica: per essere chiari, capisco che il fatto che $\mathcal{M}$ è chiusa sotto monotoni e numerabili incroci e unioni non implica che tutti $A \in \mathcal{M}$ può essere scritto come intersezione o unione monotona numerabile, ma non sono ancora molto chiaro su come insiemi come quello sopra possano sorgere nella classe monotona.
Per dirla in un altro modo, come posso dimostrarlo $(0,1) \cup (1,2) \in \mathcal{M}$ senza usare il teorema della classe monotona?
Modifica: gli intervalli aperti non sono un'algebra, ad esempio non sono chiusi sotto unioni finite, quindi penso che il teorema della classe monotona non sia usato correttamente qui.
Risposte
Hai ragione a essere confuso: il risultato dichiarato in wikipedia non è corretto. Questo è quasi notato nella pagina di discussione lì, e vedi qui per una corretta affermazione del teorema.
Il problema è che dobbiamo includere anche la capacità di formare differenze di insiemi finiti per ottenere cose del genere$(0,1)\cup(1,2)$. Per vedere questo, nota quanto segue:
Permettere $\mathfrak{C}$essere la classe di tutti i sottoinsiemi convessi di$\mathbb{R}$, questo è tutto $A\subseteq\mathbb{R}$ tale che ogni volta $a,b\in A$ con $a<b$ noi abbiamo $[a,b]\subseteq\mathbb{R}$. Poi$\mathfrak{C}$ contiene ogni intervallo aperto, è chiuso in unioni crescenti numerabili ed è chiuso in intersezioni decrescenti numerabili.
A prima vista, credo che quello che è successo sia questo: il termine "classe monotona" è generalmente usato per riferirsi a una classe di insiemi chiusi in unioni crescenti numerabili e intersezioni decrescenti numerabili. Tuttavia, almeno una fonte (vedere la pagina di discussione) utilizza "monotone class" per fare riferimento ai sistemi Dynkin . L'articolo quindi mescola questo.
Infine, per concludere, supponiamo $\mathfrak{D}$è un sistema Dynkin contenente ciascuno degli intervalli aperti. Per ciascuno$\epsilon<1$ noi abbiamo $$X_\epsilon:=(0,2)\setminus (1-\epsilon, 1+\epsilon)\in \mathfrak{D}.$$ Consideriamo ora l'unione crescente numerabile $$Y=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}X_{1\over n}.$$ Questo $Y$ è di nuovo in $\mathfrak{D}$, ed è esattamente $(0,1)\cup (1,2)$.
Penso che tu abbia frainteso la definizione di $\mathcal M$. $\mathcal M$è la più piccola classe di insiemi chiusi in unioni crescenti e decrescenti e contenenti tutti gli intervalli aperti. Ciò non significa che ogni set in esso contenuto sia un'unione crescente numerabile di intervalli aperti. Infatti il tuo set non può essere scritto in questa forma.