Perché le matrici di Gell-Mann hanno questa normalizzazione?

Question

Questa potrebbe essere una domanda stupida, ma perché la normalizzazione delle matrici Gell-Mann (base del$\mathrm{su}(3)$Lie algebra) scelto di essere$$\mathrm{trace}(\lambda_i\lambda_j)=2\delta_{ij}$$invece che solo$\delta_{ij}$senza il fattore$2$? Nella maggior parte dell'algebra lineare, i vettori di base sono normalizzati a$1$(o non normalizzato affatto). Perché non nel contesto di Lie Algebras? C'è un modo di guardare a questo che rende il fattore$2$sembra naturale?

In una nota correlata, alcuni testi di fisica cambiano la normalizzazione definendo "i generatori del$\mathrm{SU}(3)$gruppo" come$T_i=\frac{1}{2}\lambda_i$. Ma questi soddisfano e basta$\mathrm{trace}(T_iT_j)=\frac{1}{2}\delta_{ij}$il che mi sembra altrettanto innaturale. (E la differenza tra queste due convenzioni di normalizzazione mi è appena costata un'ora per inseguire un fattore mancante$4$in un lungo calcolo. Ecco perché sto facendo questa domanda xD).

Answer 1

Storia. Le matrici di Gell-Mann sono un'estensione/generalizzazione delle matrici di spin di Pauli per su(2) , e$\lambda_{1,2,3}$identificarsi con questi, quindi obbedire alla stessa relazione di traccia.

Capisci anche perché le matrici di Pauli sono ulteriormente normalizzate in questo modo di un extra 1/2, in modo da obbedire quindi all'algebra su(2) canonicamente normalizzata con costante di struttura ε , evitando così gli esponenziali a semiangolo.