Perché non si sostituisce molto grande $n$ in $(1+1/n)^n$ dare valori che si avvicinano al numero di Eulero $e$?

Aug 18 2020

Vorrei chiedere qual è il numero di Eulero $e$? Non lo capisco

Quello che so:

  • $e$ è $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ come $n$ raggiunge l'infinito

  • $e$ è $2.718281828\ldots$

Domanda:

Se inserisco $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000$, Ottengo $2.718523496\ldots$, che è maggiore di $2.718281828\ldots$.

Se vado avanti e input $n = 1\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000$, Ottengo $3.035035207\ldots$ che è molto più alto di $2.718281828\ldots$.

Penso di essermi perso qualcosa o di aver commesso un errore.

Ho frainteso la formula? È la formula e il$2.718281828$ sopra solo un'approssimazione?

Apprezzerei davvero qualsiasi spiegazione, chiarimento e correzione. :)

Grazie mille per il tuo tempo!

Risposte

3 AnginaSeng Aug 19 2020 at 02:17

Ecco un'analisi degli errori. Se$$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$ poi $$\ln a_n=n\ln\left(1+\frac1n\right)=n\left(\frac1n-\frac1{2n^2}+\frac1{3n^3}-\cdots\right)=1-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}-\cdots.$$ Per grandi $n$, $\ln a_n$ è molto vicino a $$1-\frac1{2n}$$ e così $a_n$ è vicino a $$e\exp(-1/(2n))=e\left(1-\frac1{2n}+\frac1{8n^2}-\cdots\right).$$ In realtà il $1/(8n^2)$ termine qui è spurio in quanto ho trascurato il $1/(3n^2)$ termine nell'espansione di $\ln a_n$. Ma una stima approssimativa di$a_n$ è questo $$a_n\approx e-\frac{e}{2n}.$$ L'errore è leggermente peggiore di $1/n$.

Prendendo $n=10^{12}$ dì, ti muovi $11$ per $12$posizioni decimali corrette. L'errore che si ottiene con la calcolatrice è senza dubbio dovuto alla sua mancanza di precisione nella rappresentazione dei numeri in virgola mobile. Probabilmente underflow .

RossMillikan Aug 19 2020 at 02:54

La matematica in virgola mobile in un computer non è la stessa del calcolo matematico reale. Ai tempi in cui usavamo$32$ bit galleggia, che ha dato solo $23$ pezzetti di mantissa, circa $7.2$cifre decimali, era un problema di cui tutti preoccupavano e ampie sezioni dei corsi di analisi numerica si concentravano per evitare i problemi di precisione numerica. Ora che i galleggianti sono$64$ bit con $53$bit di mantissa il problema è stato notevolmente ridotto, ma può ancora avere un problema. Quando aumenti a una potenza molto piccola puoi pensare$(1+\frac 1n)^n=e^{(\log(1+\frac 1n)n)}$ ed espandere $\log(1+\frac 1n)$ in una serie di Taylor.