Perché una funzione iniettiva continua non può da$\mathbb R$su$[-1, 1]$hanno un inverso discontinuo?

Question

Qui @Ian dice che c'è una particolare proprietà di$\mathbb R$e intervalli che impediscono a un'ipotetica funzione iniettiva continua di$\mathbb R$su$[-1, 1]$dall'avere un inverso discontinuo. Cos'è questa proprietà?

Answer 1

Una mappa iniettiva continua$f$tra due intervalli reali è monotono. Se$f$è anche su, l'immagine diretta di ogni intervallo aperto è un intervallo aperto (per la topologia indotta su$[-1,1]$).

Da qui l'immagine inversa di qualsiasi intervallo aperto sotto$f^{-1}$è aperto. A dimostrazione di ciò$f^{-1}$è continuo.

Answer 2

Tale$f$non può esistere. Ritenere$f(x)=1$, permettere$a<x<b$, supponiamo$f(a)<f(b)$,$f([a,x])$è un intervallo poiché l'immagine di un insieme connesso da una mappa continua è connessa, contiene$f(a)$e$f(x)=1$, da$f(a)<f(b)<1$, contiene$f(b)$. Lì esiste$c\in [a,x]$tale che$f(x)=f(b)$. contraddizione.

Se$f(b)<f(a)$,$f([b,x])$è un intervallo che contiene$f(a)$contraddizione.