Permettere $E = \{ 1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots\}$. Determina gli insiemi di punti interni, di accumulo, isolati e di confine

Question

Si spera che questa domanda sia appropriata per questo forum. In caso contrario, per favore fatemelo sapere. Vorrei sapere se le giustificazioni (prove) della soluzione sono corrette.

Permettere $E = \{1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots\}$. Anche$\sup E = 1$ con $1 \in E$ e $\inf E = 0$ così $E \subset (0,1]$.

1. Insieme di punti interni di E: let $c > 0, c \in \mathbb{R}$. Prendi qualsiasi$x \in E$. Considera l'intervallo$(x-c,x+c)$ poiché quell'intervallo contiene un numero razionale e irrazionale allora $(x-c,x+c) \not\subset E$ quindi x non punto interno di E. Pertanto nessun punto interno in E e insieme del punto interno di E è l'insieme vuoto $\phi$.

2. Insieme di punti di accumulo di E: per ogni $c > 0, c \in \mathbb{R}$, prendi qualsiasi $x \in (0,1]$. Considera l'intervallo$(x-c,x+c)$ poiché quell'intervallo contiene numero razionale e irrazionale e $E \subset \mathbb{Q}$ poi $(x-c,x+c)\cap E$ contiene infiniti punti di E. Pertanto l'insieme dei punti di accumulazione di E è (0,1].

3. Insieme di punti isolati di E: let $c > 0, c \in \mathbb{R}$. Prendi qualsiasi$x \in E$. Considera l'intervallo$(x-c,x+c)$ poiché quell'intervallo contiene un numero razionale e irrazionale allora $(x-c,x+c) \cap E \subset E \neq \{ x \}$ quindi x non è un punto isolato di E. Quindi nessun punto isolato in E e insieme di punti isolati di E è l'insieme vuoto $\phi$.

4. Insieme di punti di confine di E: Per ogni $c > 0, c \in \mathbb{R}$ poi ogni intervallo $(0-c,0+c)$ ha almeno un punto fuori E e almeno un punto dentro E. Inoltre ogni intervallo $(1-c,1+c)$ ha almeno un punto fuori E e almeno un punto dentro E. Altrimenti per qualsiasi $x \in E$ non ogni intervallo $(x-c,x+c)$ ha almeno un punto fuori da E e almeno un punto dentro E. Quindi l'insieme dei punti di confine di E è {0,1}.

Nota: il riferimento per le definizioni di punti interni, di accumulo, isolati e di confine è "Analisi reale elementare" di B. Thomson, JB Brucker e AM Bruckner, Sez. 4.2, p. 165.

Grazie in anticipo per i commenti.

Answer 1

È corretto dirlo $(x - c, x + c)$ contiene numeri sia razionali che irrazionali, ed è corretto dirlo $E \subseteq \mathbb{Q}$; ma non è corretto dirlo$(x - c, x + c)$ contiene alcuni membri di $E$come conseguenza. Come semplice esempio, lascia$x = 3/4$ e $c = 1/8$; l'intervallo$(5/8,7/8)$ non contiene membri di $E$. È importante sottolineare che solo perché tutti i membri di$E$ sono dentro $\mathbb{Q}$ non significa che i membri di $\mathbb{Q}$ in $(x - c, x + c)$ capita di essere gli stessi che sono in $E$!

Questo errore influisce sulle tue risposte in 2, 3 e 4. Per iniziare a risolverlo, ecco un suggerimento su # 2.

Permettere $1/2 < x < 1$. L'intervallo$(1/2, 1)$ è un intervallo aperto contenente $x$ che non include alcun membro di $E$ (poiché tutti i membri di $E$ diverso da $1$ e $1/2$ sono inferiori a $1/2$), così $x$ non è un punto di accumulo di $E$.

Lascio a te, per ora, applicare questa linea di pensiero più in generale.