Permettere$f: [a, b]\rightarrow R$essere differenziabile in ogni punto di$[a, b ]$e$f'(a)=f'(b)$, dimostrare che c'è una linea che passa a$a$tangente a$f$

Question

Permettere$f: [a, b]\rightarrow R$essere differenziabile in ogni punto di$[a, b ]$, e supponiamo che$f'(a) = f'(b)$. Dimostrare che esiste almeno un punto$c$in$(a,b)$tale che

$$ f'(c) = \dfrac{f(c)-f(a)}{c-a} $$

Il mio tentativo:

definire$h(x) = \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$Su$(a,b]$e$h(a) = f'(a)$. Notare che$h$è continuo$[a,b]$.

Adesso$$h'(x) = \dfrac{f'(x)}{x-a}-\dfrac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}$$

Nota che definiamo$h'$Su$(a,b]$

Il nostro obiettivo è mostrare che un punto estremo di$h(x)$si trova in$(a,b)$quindi possiamo rivendicare$h'(c)=0$per alcuni$c\in (a,b)$.

Spostando le cose lo vediamo$f'(x) = h'(x)(x-a)+h(x)$Su$(a,b]$. Osserviamo che se$h(x)$è strettamente crescente (o strettamente decrescente), quindi$f'(x)$è anche strettamente crescente (o strettamente decrescente). Da qui una contraddizione$f'(a)=f'(b)$e quindi c'è un estremo$c$per$h(x)$. Qui otteniamo una contraddizione perché se dovessimo evitare una contraddizione allora$f'(a)>d>f'(d+\epsilon)$(assumendo$f'$è in aumento) per qualsiasi$\epsilon>0$. Applicazione di un lemma di tipo teorema del valore intermedio a$f'$contraddiciamo la monotonia. Quindi,$f(a)<f(a+\epsilon)$per ogni$\epsilon>0$.

Perciò,$h'(c)=0$implica$$\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}=f'(c)$$

Cerco solo verifiche di prova. Se la mia prova è sbagliata, per favore$\textbf{only respond with hints}$.

Answer 1

Qualche piccola critica:

Nota che definiamo ℎ′ su (,]

dovrebbe invece essere "per$a < x \le b$". Non stai definendo $h'$; lo stai valutando (usando la regola del quoziente, ecc.) e poi notando il dominio in cui questa valutazione è valida.

Il nostro obiettivo è mostrare che un punto estremo di$ℎ()$si trova in$(,)$quindi possiamo rivendicare$ℎ′()=0$per alcuni$ \in (,)$.

Lo riscriverei come

Il nostro obiettivo è mostrarlo ad alcuni$c$rigorosamente tra$a$e$b$,$c$è un punto estremo per$h$. Possiamo quindi concludere che$h'(c) = 0$.

Data la delicatezza dell'argomento, potrebbe valere la pena chiarire cosa intendi per "punto estremo". Se$f$è costante, per esempio, allora$h$è anche costante, e molte persone troverebbero strano dire che una funzione costante ha punti estremi (anche se a molti altri andrebbe bene).

....ed è lì che ho smesso di leggere, perché ho bisogno di andare a fare altre cose.