Previsione errore prime con triangoli primi (Q: crescita e simmetria).

Question

Errore in Prime Prediction.

Viene fornito un metodo per stimare la posizione del numero primo successivo in base ai due numeri primi precedenti. Viene determinato l'errore nella stima. Vorrei ora se questo errore cresce o converge.

È possibile creare triangoli con la lunghezza laterale di un numero primo. Questi triangoli possono essere costruiti mediante l'aggiunta di vettori. Così simile alla sequenza di Fibonacci, l'elemento successivo è la somma dei due predecessori, in questo caso utilizzando solo vettori.

$$\vec{p}(n+2)=\vec{p}(n)+\vec{p}(n+1)$$

Esistono tutti questi triangoli primi? Quindi la somma dei numeri primi precedenti dovrebbe essere maggiore di$|\vec{p}(n+2)|$. Lo scenario peggiore è per numeri primi gemelli, quindi:

$$|\vec{p}(n+2)|<2|\vec{p}(n+1)|-2$$

Questo è anche noto come: teorema di Bertrand-Chebyshev https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_postulate. Quindi tutti i triangoli devono esistere nella mia comprensione. Nota che il triangolo: 2, 3, 5 è l'unica eccezione in cui l'angolo$\beta=0$ mentre 2 (pari) + 3 (dispari) = 5 (dispari) è l'unico insieme in cui la corrispondenza della parità (2 è solo primo pari).

L'altezza di ogni triangolo (coordinate x, y in figura) può essere calcolata applicando la legge dei coseni.

$$\alpha=\arccos \left(\frac{|\vec{p}(n+1)|^{2}+|\vec{p}(n+2)|^{2}-|\vec{p}(n)|^{2}}{2|\vec{p}(n+1)||\vec{p}(n+2)|} \right)$$ $$\beta=\arccos \left(\frac{|\vec{p}(n)|^{2}+|\vec{p}(n+2)|^{2}-|\vec{p}(n+1)|^{2}}{2|\vec{p}(n)||\vec{p}(n+2)|} \right)$$ $$\gamma=\arccos \left(\frac{|\vec{p}(n)|^{2}+|\vec{p}(n+1)|^{2}-|\vec{p}(n+2)|^{2}}{2|\vec{p}(n)||\vec{p}(n+1)|} \right)$$ $$x=|\vec{p}(n)|+|\vec{p}(n+1)|\cos(\pi-\gamma)$$ $$y=|\vec{p}(n+2)| \cos(\pi /2 - \beta)$$

Tracciare x, y (primi 20.000.000 numeri primi) rivela che l'altezza del triangolo tende a crescere lineare. La pendenza converge a$\sqrt{3}$formando triangoli equilateri (vedi video nel link sotto). Ciò significa che due numeri primi seguenti sono quasi uguali tra loro se n → ∞. Il divario$g_{n}$ diventerà trascurabile rispetto alla grandezza dei numeri primi https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap#Upper_bounds.

$$|\vec{p}(n+1)|=|\vec{p}(n)|+g_{n}$$

Con questa relazione possiamo prevedere il prossimo numero primo $\tilde{p}(n+2)$ basato su entrambi i suoi predecessori (legge dei coseni) con $\beta=\pi/3$ (pendenza =$\sqrt{3}$).

$$|\tilde{p}(n+2)|=|\vec{p}(n)|\cos(\beta)+\sqrt{(|\vec{p}(n)|^{2}\cos^{2}(\beta))-|\vec{p}(n)|^{2}+|\vec{p}(n+1)|^{2}}$$ $$|\tilde{p}(n+2)|=\frac{1}{2}|\vec{p}(n)|+\sqrt{-\frac{3}{4}|\vec{p}(n)|^{2}+|\vec{p}(n+1)|^{2}}$$

L'errore nella previsione può essere determinato con:

$$\varepsilon(n)=|\tilde{p}(n)|-|\vec{p}(n)|$$

Tracciare questo errore (primo: 20.000.000 numeri primi):

Osservazioni.

• Si osserva che all'interno di questo intervallo l'errore cresce molto lentamente.
• L'errore mostra la simmetria.

Domanda:

• Questo errore converge o cresce e quanto velocemente?
• La simmetria (equilibrio tra errori negativi e positivi) nell'errore regge?

Triangoli primi video (convergenza equilatera).

Animazione su Youtube, maggiori informazioni e riferimenti nei commenti. https://youtu.be/YOsASuAv54Y

Answer 1

Crescita Primegap.

Il divario medio tra i primi cresce come descritto nell'argomento sullo scambio di pile, https://math.stackexchange.com/q/1261272/650339.

$$\sim \log (n)$$

Questa crescita causerà anche la crescita dell'errore di previsione prime / gap con triangoli primi. Segue un grafico aggiornato dell'errore tracciato con (primi 20.000.000 numeri primi):$\sim \log(n)$:

Quando il primegap previsto è zero, abbiamo un primo set bilanciato, https://en.wikipedia.org/wiki/Balanced_prime. Il grafico in basso a destra mostra l'errore previsto in funzione del Primegap effettivo dai suoi predecessori. Si verifica una simmetria osservata tra errori positivi ed errori negativi:

• La simmetria negli errori è inaspettata. Il triangolo rosso (errore negativo) nel grafico ha osservato lo stesso numero quindi il triangolo blu (positivo).
• I numeri primi gemelli contribuiscono solo con errori negativi.
• L'intervallo di errore per spazi più grandi è inferiore.

Ancora qualche osservazione:

L'errore: relazione con numeri primi bilanciati.

Previsione dei primi con triangoli primi:

$$\tilde{p}_{n}=\frac{1}{2}{p}_{n-2}+\sqrt{-\frac{3}{4}{p}_{n-2}^{\:2}+{p}_{n-1}^{\:2}}$$

Primo calcolato dalla formula del primo bilanciato più l'errore:

$${p}_{n-1}=\frac{p_{n-2}+p_{n}+\varepsilon_{*}(n)}{2}$$

Entrambe le relazioni sono correlate / convergono (nessuna prova fornita, ma solo testata dall'analisi numerica):

$$\varepsilon(n)=\tilde{p}_{n}-{p}_{n}$$

$$\varepsilon(n)=\frac{1}{2}{p}_{n-2}-p_{n}+\sqrt{-\frac{3}{4}{p}_{n-2}^{\:2}+{p}_{n-1}^{\:2}}$$

$$\varepsilon(n) \sim 2{p}_{n-1}-{p}_{n-2}-{p}_{n}$$

Quindi l'errore è anche un'indicazione di quanto il numero primo devia da un numero primo bilanciato https://en.wikipedia.org/wiki/Balanced_prime.

L'errore: il primo previsto è un gap previsto.

L'errore nella previsione Prime con i triangoli $\tilde{p}(n)$ è uguale all'errore nel primo gap previsto $\tilde{g}_{n}$:

$$\varepsilon(n)=(\tilde{p}_{n}-{p}_{n-1})-({p}_{n}-{p}_{n-1})$$ $$\varepsilon(n)=\tilde{p}_{n}-{p}_{n}$$

Qualcuno può spiegare da dove viene quella simmetria, quindi per favore lascia un commento?