Probabilità di essere in un gruppo all'interno di una squadra
È da un po' che non vado a scuola, quindi la mia matematica è davvero arrugginita.
C'è un gioco a cui ho giocato in cui c'è un gruppo di dieci giocatori e due vengono selezionati a caso come "impostori".
Qual è la probabilità che io venga scelto come uno degli impostori?
L'ho ragionato come:
Numero di modi per me di essere un impostore =$\binom{1}1$.
Numero di modi in cui la seconda persona può essere scelta come impostore =$\binom{9}1$.
Spazio campionario totale =$\binom{10}2\binom{8}8$.
Quindi la probabilità che io sia un impostore è$$\frac{\binom{1}1\binom{9}1}{\binom{10}2\binom{8}8}= \frac{9}{45}$$
Quando ho guardato$m$impostori e$n$giocatori, ho usato la stessa logica per ottenere una probabilità finale di$\frac{m}{n}$. Per qualche ragione non mi aspettavo questo risultato (che sarebbe stato semplicemente un rapporto piatto). C'è qualche intuizione in questo? Mi aspettavo che il risultato fosse inferiore a$m/n$, poiché sembra che ci siano così tante permutazioni tra cui scegliere una squadra$m$impostori, (ad esempio, se$m = 10$,$n = 140$)
Risposte
Il numeratore non è corretto: stai cercando modi in cui sei uno degli impostori. Ci sono 9 possibilità, vale a dire tu e qualcun altro, dove qualcun altro viene scelto tra 9 persone. Nota che l'ordine tra te e l'altra persona non è importante, quindi è sufficiente scegliere l'altra persona.
Modifica: in generale, sì$n$persone (incluso te) e$m$impostori.
La probabilità che tu sia un impostore è:$\frac{n-1\choose {m-1}}{n\choose m}=\frac{m}{n}$. Il numeratore è di nuovo il numero di impostori tranne te, e il denominatore è di nuovo la scelta degli impostori senza ulteriori vincoli.
Questo, secondo me, è in realtà molto intuitivo: m persone su n sono impostori, quindi l'hai fatto$m/n$probabilità di essere un impostore. Questo è qualcosa come "1 persona su 300 ha il Coronavirus, quindi la probabilità che tu lo abbia (da un punto di vista molto oggettivo - non ti conosco affatto) è 1/300.