Probabilità di selezionare una mano di poker
Sto cercando di risolvere un problema di probabilità sulla mano di poker a cinque carte. Ho accesso alla risposta che è diversa da quella che avevo trovato. La domanda è:What is the probability that a five-card poker hand has exactly two cards of same value, but no other cards duplicated?
La mia risposta a questa domanda è stata la seguente: $\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$. Che significa:
- Seleziona prima un numero di carta, quindi seleziona i suoi due semi, ad es. $\binom{13}{1} \binom{4}{2}$. Queste saranno le due carte dello stesso valore.
- Seleziona altre tre carte che non sono duplicate come: $\binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$.
La risposta corretta non corrisponde alla mia risposta. Questa risposta è fornita nel libro AOPS ed è come:$\binom{13}{1} \binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$.
Quindi la domanda è: cosa sto facendo di sbagliato? Grazie
Risposte
Per regola del prodotto , dopo il primo numero di carta selezionato e i suoi due semi, dobbiamo selezionare$3$ carte con $3$ valori diversi che è $\binom{12}{3}$ e poi per ognuno possiamo scegliere tra quattro semi cioè $\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$. Con il tuo metodo le selezioni$\binom{48}{1}$ e altri due successivi sono sbagliati perché li stai sovrastimando (es $3,5,8$ sarebbe diverso da $5,3,8$). Pertanto, dal tuo modo di contare, devi dividere per$3!=6$.
la soluzione del tuo libro è corretta. Cerchiamo di spiegare il corretto brainstorming.
Per ottenere esattamente una coppia su 5 estrazioni hai:
13 scelte per scegliere la coppia {AA, 22,33, ...}
per ogni coppia che hai $\binom{4}{2}$ scelte per scegliere il seme: cuori, quadri, fiori o picche
per le restanti 3 estrazioni che hai $\binom{12}{3}$ scelte di carte diverse
per ciascuna delle scelte precedenti che hai $4^3$ scelte per il seme: cuori, quadri, fiori o picche
moltiplicare tutti i punti precedenti ottenendo.
$$13\times\binom{4}{2}\times\binom{12}{3}\times4^3$$
Supponi di selezionare la mano $7\heartsuit, 7\spadesuit, 5\clubsuit, 9\diamondsuit, J\spadesuit$. Il tuo metodo conta questa mano$3! = 6$ volte, a seconda dell'ordine in cui si selezionano i tre singleton.
L'ordine in cui vengono selezionati i tre singleton non ha importanza, motivo per cui la risposta corretta seleziona tre ranghi da cui viene estratta una singola carta e quindi seleziona una carta da ciascuno di quei ranghi.
Osservalo $$\frac{1}{6}\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{48}{1}\binom{44}{1}\binom{40}{1} = \binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$$
Numero di casi possibili: $ c_p = \binom{52}{5} $.
Numero di casi favorevoli:
Scegli la prima suite di carte: $ \binom{13}{1} \binom{4}{2} $.
Nota che il primo binomio viene utilizzato per scegliere un numero di carta e il secondo per scegliere due simboli su quattro.
Scegli le tre distinte suite di carte: $ \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3 $ Nota che il primo binomio viene utilizzato per scegliere tre carte e il secondo per scegliere un solo simbolo per ciascuna delle tre carte.
Risultato: $$ p = \frac{\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3}{\binom{52}{5}}. $$
Nella tua soluzione, gli ultimi tre binomi possono fornire una suite di tre carte identiche, perché scegli solo le carte, non i simboli.
Tu e il libro contate in modo diverso come selezionare le tre carte rimanenti. La tua risposta è:$$ \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1} = 48 \cdot 44 \cdot 40 = 4^3 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$$ La risposta del libro è: $$\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1} = 4^3 \cdot \frac{12\cdot 11\cdot 10}{3!}$$ Differiscono per a $3!$fattore, che è precisamente il numero di permutazioni di tre oggetti distinti. Ciò suggerisce che stai considerando l'ordine delle tre carte rimanenti.