Probabilità di una stringa contenente tutti i caratteri
Data una stringa di lunghezza$n$, sul$26$lettere dell'alfabeto inglese, qual è la probabilità che le contenga tutte?$26$delle lettere?
Stavo pensando in questa direzione, (ma non sono riuscito a raggiungere la risposta).
Supponiamo che alla domanda originale sia stata assegnata la lunghezza della stringa, qual è la probabilità che contenga un A, e sarebbe 1 - (la probabilità che non contenga un A) quindi
Ma non sono in grado di estendere questa idea a più personaggi. Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Supponendo che le lettere siano scelte con uguale probabilità, e indipendentemente, allora il problema è equivalente a: Lancio$n$palle dentro$m=26$urne a caso, qual è la probabilità che tutte le urne siano non vuote?
Il conteggio totale (numero di stringhe) è chiaramente$m^n$. Gli eventi favorevoli sono meno facili da contare, è necessario utilizzare il principio di inclusione-esclusione. Il risultato è dato dal numero di Stirling di seconda specie , e la spiegazione è data qui .
Quindi il risultato finale è
$$ p = \frac{m! \, S_{n,m}}{m^n} $$