Problema con gli angoli diretti che si sommano a ${\pi \over 2}$.

Aug 18 2020

Stavo risolvendo una sezione del mio libro (EGMO Lemma 1.30) in cui l'autore discute gli usi degli angoli diretti, quando mi sono imbattuto in-

Punti $A, B, C$ sdraiarsi su un cerchio con il centro $O$. Dimostralo$\measuredangle$ $OAC$ = $90^\circ$ - $\measuredangle$ $CBA$.

Lasciatemi indicare l'angolo diretto con $\measuredangle$.(ovunque)

Ecco un tentativo; l'autore parla degli angoli diretti in blu, e si deve dimostrare che si sommano alla metà$\pi$radianti. Le linee in rosso sono di mia costruzione.

Dagli angoli diretti, lo sappiamo $\measuredangle$ $CBA$ = $\measuredangle$ $CXA$ = ${1\over 2}$ $\measuredangle$ $COA$(il teorema dell'angolo inscritto).
E anche quello$\measuredangle$ $OAC$ = $\measuredangle$ $ACO$ (triangolo $OAC$ è isoscele).

Ora per un teorema degli angoli diretti, $\measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $ACO$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$

Ma dopo questo, mentre lavoriamo modulo $\pi$ radianti, è incomprensibile moltiplicare o dividere per $2$, cosa che devo fare, quindi il mio tentativo è fallito.

Le risposte sono per fortuna benvenute.

Risposte

1 AnindyaPrithvi Aug 18 2020 at 23:34

Dagli angoli diretti, lo sappiamo $\measuredangle$ $CBA$ = $\measuredangle$ $CXA$ = ${1\over 2}$ $\measuredangle$ $COA$(il teorema dell'angolo inscritto).
E anche quello$\measuredangle$ $OAC$ = $\measuredangle$ $ACO$ (triangolo $OAC$ è isoscele).

Ora per un teorema degli angoli diretti, $\measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $ACO$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$

Dopo questo possiamo scrivere $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$ e sostituire $\measuredangle$ $COA$ come $2\times \measuredangle$ $CBA$

Noi abbiamo, $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $2\times \measuredangle$ $CBA=0^\circ (\text{mod}\ 180^\circ)$

che equivale a scrivere come $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $2\times \measuredangle$ $CBA=180^\circ (\text{mod}\ 180^\circ)$

Dividi entrambi i lati per $2$e procedi per ottenere $\measuredangle$ $OAC$ + $\measuredangle$ $CBA$ = $90^\circ \ (\text{mod}\ 90^\circ)$

using : If a ≡ b (mod c) and gcd(c, d) = g then a/d ≡ b/d (mod c/g)

Quindi dimostrato.