Problema con il factoring $x^4-x^3+x^2-x+1$

Question

Voglio calcolare il seguente integrale usando la frazione parziale: $$\int{1\over x^5+1}dx$$Quindi decompongo il denominatore:

$$x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$$

Per il passaggio successivo ho cercato su Internet e ho scoperto che avrei dovuto decomporsi$x^4-x^3+x^2-x+1$ come questo:

$$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)$$

E poi $a,b$ può essere trovato facilmente.

La mia domanda è perché i coefficienti di $x^2,x^0$ siamo $1$?

Perché posso riscrivere:

$$x^4-x^3+x^2-x+1=(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$$

E l'unica cosa che posso vedere al primo sguardo è $ad=1,cf=1$ e non ho idea del perché $a=d=c=f=1$

Puoi vedere la sua risposta qui sotto:

Answer 1

In generale, i due polinomi sono dati alla moltiplicazione di una costante (puoi moltiplicare uno per $k$ e altri da $1/k$), quindi puoi sistemarlo in un modo che $a=d=1$è garantito. Per esempio$x^2+4x+4$ può essere scomposto come $(x+2)(x+2)$ ma anche come $(2x+4)(\frac{1}{2}x+1)$. Quindi siamo liberi di fissare uno dei coefficienti per rendere unica la risposta. Tuttavia, se lo fai, non hai scelta per gli altri, quindi un inizio corretto qui è qualcosa di simile $$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2−ax+b)(x^2−cx+d).$$

Sicuramente puoi eseguire ulteriori calcoli per ottenere maggiori informazioni sui coefficienti costanti, ma non prima.

Anche il seguente esempio leggermente modificato mostra che assumendo che siano i coefficienti iniziali e costanti $1$ dall'inizio è sbagliato:

$$ x^4-x^3+x^2+x+1=\\(x^2+0.86676039+0.46431261)(x^2-1.86676039x+2.15372137) $$

Tuttavia, come indicato nell'altra domanda collegata, in questo caso è stato probabilmente usato (ma non spiegato) che il polinomio è palindromico (auto-reciproco), il che implica che le sue radici siano a coppie $\alpha, \frac{1}{\alpha}$ (è il risultato di $x^4f(1/x)=f(x)$). Ciò ti consente di aspettarti i fattori in una forma$$(x-\alpha)(x-\frac{1}{\alpha})=x^2-(\alpha+\frac{1}{\alpha})x+1,$$ o più generico $x^2-ax+1$.

Answer 2

Supponiamo di avere un polinomio di 4 ° grado monico (ad esempio coefficiente direttivo di 1) $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$ che scomponi in due polinomi di 2 ° grado:
$(ex^2 + fx + g) \times (hx^2 + ix + j).$

Quindi, puoi dividere ciascun coefficiente del primo polinomio per $e$ e moltiplica ogni coefficiente del secondo polinomio per $e$. Questo produce: $(x^2 + [f/e]x + [g/e]) \times ([he]x^2 + [ie]x + [je]).$

Tuttavia, poiché il prodotto di questi due polinomi è
$x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$,
allora$h \times e$ deve = 1. $

Pertanto, il polinomio monico di 4 ° grado è stato scomposto in due polinomi monici di 2 ° grado. Come altri hanno sottolineato, in questa fattorizzazione, solo perché il coefficiente $ x ^ 0 $ nel polinomio di 4 ° grado è 1 non significa che i coefficienti $ x ^ 0 $ nei due polinomi di 2 ° grado debbano essere uno ciascuno. Tutto quello che puoi dire con certezza è che il prodotto dei due coefficienti $ x ^ 0 $ nei due polinomi di 2 ° grado deve = 1.

Se ho capito bene, è successo che quando il polinomio monico di 4 ° grado fornito nella query originale viene scomposto in due coefficienti monici di 2 ° grado, per quel particolare coefficiente di 4 ° grado, i polinomi monici di 2 ° grado risultanti hanno il loro $ x ^ 0 $ coefficienti ciascuno = 1.

Addendum Concentrandosi sul polinomio originale di 4 ° grado dell'OP

Prima di tutto, considera il polinomio di 4 ° grado che è uguale a
$ (x ^ 2 + x + 5) \ times (x ^ 2 + x + [1/5]). $
Questo è un semplice controesempio il cui prodotto avrà forma $ x ^ 4 + ascia ^ 3 + bx ^ 2 + cx + 1. $

Modifica Bene, questo è imbarazzante:

Mi sono appena reso conto che il mio controesempio sopra è difettoso . Cioè, quando $ (x ^ 2 + x + 5) \ times (x ^ 2 + x + [1/5]) $ è combinato in un polinomio monico di 4 ° grado, potrebbero esserci modi alternativi di fattorizzare questo 4 ° grado polinomio che si adatta al modello originariamente suggerito all'OP.

Ad ogni modo, il resto di questo addendum esamina i vincoli in un modo molto simile al https://math.stackexchange.com/questions/3792716/what-is-the-meaning-of-symmetry-of-the-coefficients link che qualcuno ha già commentato.

Tutta questa analisi solleva la questione del perché apparentemente ci fosse un suggerimento di fattorizzare
$ f (x) = x ^ 4 - x ^ 3 + x ^ 2 - x + 1 $ in
$ (x ^ 2 - ax + 1) \ volte (x ^ 2 - bx + 1). $

Suppongo che ciò che sta realmente accadendo sia che si sia ipotizzato che $ f (x) $ possa essere così scomposto.

Di conseguenza, allo studente viene chiesto di esplorare la congettura e vedere se è vera. L'esplorazione porta ai seguenti vincoli su $ a $ e $ b $ :

(1) re $ x ^ 3: a + b = 1. $
(2) re $ x ^ 2: 2 + (a \ volte b) = 1. $
(3) re $ x ^ 1: a + b = 1. $

Nota che hai tre vincoli sulle due variabili $ a $ e $ b. $

Tuttavia, poiché i vincoli (1) e (3) sono identici, si finisce con solo due vincoli.

Anche se entrambi i vincoli (1) e (2) fossero lineari, ciò non garantirebbe (in generale) una soluzione [es. R + s = 6. 2r + 2s = 11].

Nel caso presente, il vincolo (2) non è lineare, il che lo rende ancora più incerto. Nota: sono su ghiaccio sottile qui, non ho mai studiato l'effetto della combinazione di 1 vincolo lineare con 1 vincolo non lineare.

Tuttavia , esplorando come previsto, presumibilmente, è possibile trovare valori soddisfacenti di $ a $ e $ b $ . Dando uno sguardo a $ f (x), $ notate che il vincolo (3) è identico al vincolo (1) proprio perché in $ f (x) $ i coefficienti $ x ^ 3 $ e $ x ^ 1 $ sono identici.

Pertanto, si potrebbe sostenere che la congettura suggerita era ben motivata.