Problema in un esercizio di Rudin
La domanda mi chiede di dimostrare che l'insieme di tutti gli interi algebrici è numerabile.
Ora il suggerimento dato in Rudin è:
$N=|a_0|+|a_1|+...+|a_n|+n$. L'equazione ha infinite soluzioni.
Ora, la somma del modulo dei coefficienti dell'equazione e il grado dell'equazione è sempre una quantità positiva.
Quindi, fissando n, ci sono infinitamente molti modi in cui posso cambiare i coefficienti da ottenere $N$. Da$ N \in Z$. Il sottoinsieme infinito di un insieme numerabile è numerabile e anche l'unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile. Quindi da qui posso concludere che ci sono finitamente molti polinomi con coefficienti interi.
Secondo il teorema fondamentale dell'algebra ci sono solo radici per un'equazione polinomiale. Quindi posso concludere da qui che il numero totale di numeri algebrici è numerabile. Penso di essermi confuso nell'usare il suggerimento. Alcuni suggerimenti sarebbero utili. Ho letto il post precedente in modo simile a questo, ma ho visto l'approccio diverso.
Risposte
Proviamo ad aggiungere qualche notazione, può semplificare molti problemi di topologia. Permettere$$A_n = \{x: a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_0\hspace{4mm}\text{and}\hspace{4mm} a_0,\ldots, a_n\in\mathbb{Z}\}$$ Così $A_n$ è l'insieme dei numeri algebrici che sono la soluzione di un polinomio con coefficienti da $\mathbb{Z}$ ed è al massimo in ordine $n$. Segue quello$A = \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$sarà l'insieme di tutti i numeri algebrici. Se lo mostri$A_n$ è finita allora poiché l'unione numerabile di insiemi finiti è numerabile, allora $A$ sarà numerabile.
Hai l'idea che $A_n$è numerabile ma la formulazione potrebbe essere migliorata. Usando il suggerimento, si noti che esiste un numero finito di polinomi di grado$n$ le cui radici potrebbero appartenere $A_n$. Successivamente, ciascuno di questi polinomi ha un numero finito di radici. Ne consegue che$A_n$deve essere finito. Quindi$A$ è numerabile.