Prodotto di due coppie di rapporti di mancato recapito

Aug 23 2020

Questa è una domanda su un lemma nella Topologia algebrica di May, affermando che if $(X,A)$ e $(Y,B)$ sono coppie di rapporti di mancato recapito, quindi lo è $(X\times Y,X\times B\cup A\times Y)$.

Per definizione $(X,A)$ è una coppia NDR se esiste una mappa $u:X\to I$ e un'omotopia $h:X\times I\to X$ tale che $u^{-1}(0)=A$ e $h(x,0)=x$ per tutti $x\in X$, $h(a,t)=a$ per tutti $a\in A$ e $t\in I$, e $h(x,1)\in A$ per tutti $x\in u^{-1}([0,1))$.

Supponiamo $(h,u)$ e $(j,y)$ rappresentare $(X,A)$ e $(Y,B)$ come coppie di rapporti di mancato recapito e definisci $k:X\times Y\times I\to X\times Y$ lasciando $$k(x,y,t)=\begin{cases} (h(x,t),j(y,tu(x)/v(y)))&\text{if }v(y)\geq u(x)\\ (h(x,tv(y)/u(x)),j(y,t))&\text{if }u(x)\geq v(y). \end{cases} $$ Capiamo $u(x)/v(y)=1=v(y)/u(x)$ Se $u(x)=v(y)=0$. La mia domanda è: come possiamo controllare la continuità di$k$?

Risposte

2 AnginaSeng Aug 23 2020 at 21:20

Devi dimostrarlo $k$ è continuo nei sottoinsiemi $C$ e $D$ di $X\times Y\times I$ definito da $v(y)\ge u(x)$ e $u(x)\ge v(y)$ rispettivamente, e le definizioni concordano $C\cap D$. Questo è sufficiente, da allora$C$ e $D$ sono chiusi $X\times Y\times I$. È anche chiaro che all'incrocio coincidono, quindi tutto ciò che occorre provare è questo$k$ è continuo $C$ e così via $D$.

Le prove per entrambi saranno simili, quindi concentriamoci su $C$. Penso che sia chiaro$k$ è continuo su tutti i punti con $v(y)>0$, quindi prendi $P=(x_0,y_0,t_0)$ con $u(x_0)=v(y_0)=0$, questo è $x_0\in A$ e $y_0\in B$. Certamente$h(x,t)$ è continuo a $P$, quindi chiediamo se $j(y,tu(x)/v(y))$è anche. Questo seguirà dalla continuità di$tu(x)/v(y)$. Nota che prendiamo$t_0u(x_0)/v(y_0)$ essere $t_0$.

Permettere $U$ essere un quartiere di $t_0$ in $I$. Per la continuità di$u$ e $v$, è sufficiente dimostrarlo $$E=\{(r,s,t):0\le r\le s\le1,0\le t\le 1,t(r/s)\in U\}$$ è aperto in $$F=\{(r,s,t):0\le r\le s\le1,0\le t\le 1\}.$$ Dalla convenzione che $0/0=1$, $$E=\{(0,0,t):t\in U\}\cup\{(r,s,t)\in F,s>0,rt/s\in U\}$$ che è aperto in $F$.