Prova che $2^{n}+1$ non è un cubo di un intero per tutti $n\in\mathbb{N}$ [duplicare]
Prova che $2^n+1$ non è un cubo per nessuno $n\in\mathbb{N}$.
Sono riuscito a provare questa affermazione ma vorrei sapere se ci sono altri approcci diversi dal mio.
Se esistesse $k\in\mathbb{N}$ tale che $2^n+1=k^3$ poi $k=2l+1$ per alcuni $l\in\mathbb{N}$. Poi$(2l+1)^3=2^n+1 \iff 4l^3+6l^2+3l=2^{n-1}$. Poiché sto cercando una soluzione intera, dal Teorema della radice razionale$l$ dovrebbe essere della forma $2^j$ per $j=1,...,n-1$. Ma allora
$$4(2^j)^3+6(2^j)^2+3\times2^j=2^{n-1} \iff 2^{2j+2}+3(2^{j+1}+1)=2^{n-1-j}$$
il LHS è strano, il che lo implica $j=n-1$. Assurdo.
Grazie in anticipo.
Risposte
Ecco un approccio diverso.
Modulo $7$, non ci sono così tanti cubi, quindi questa può essere una buona impostazione per indagare su tali problemi:
$2^n+1\equiv 2, 3, $ o $5\pmod7$, ma $m^3\equiv0, 1, $ o $6\pmod 7$.
Ecco una soluzione basata sulla parità che evita il test di radice razionale.
Se $2^n+1=m^3$, poi $2^n=m^3-1=(m-1)(m^2+m+1)$, così $m-1=2^k$ per alcuni $k\le n$, e
$$2^n+1=\left(2^k+1\right)^3=2^{3k}+3\cdot2^{2k}+3\cdot2^k+1\,.$$
Poi $2^n=2^k\left(2^{2k}+3\cdot2^k+3\right)$, così $2^{n-k}=2^{2k}+3\cdot2^k+3$ è strano e maggiore di $1$, il che è impossibile.
Aggiunto: come si può vedere dai commenti qui sotto, ci sono molti modi per continuare questo argomento dopo la prima riga. Ho preso quello che considero l'approccio segue il naso, cioè il più ovvio, diretto, non necessariamente il più pulito. (E parlando di più pulito, mi piace abbastanza quello di rtybase .) D'altra parte , i nasi della gente non puntano sempre nella stessa direzione. :-)
Invocare un argomento più potente del necessario per questo:
non ci possono essere soluzioni a $2^n+1=m^3$ (cioè, $m^3-2^n=1$) dal teorema di Mihăilescu ,
che lo afferma $2^3$ e $3^2$ sono le uniche due potenze dei numeri naturali
i cui valori sono consecutivi.
Supponiamo $2^n + 1 = k^3$. Poi$2^n = k^3 - 1 = (k^2 + k + 1)(k - 1)$. Quindi entrambi i fattori sono pari ($k = 2$non funziona; il primo fattore è almeno$3^2 + 3 + 1 = 13$, non può essere 1). Ma il primo fattore è sempre strano, la contraddizione.
Permettere $$2^n=m^3-1\\\implies 2^n=(m-1)(m^2+m+1)\\\implies(m-1)=2^a\text{ and }(m^2+m+1)=2^b\\\implies3m=(m^2+m+1)-(m-1)^2=2^b-2^{2a}$$ Adesso, da allora $m$ è strano, dobbiamo avere $a=0$ o $b=0$. Ma$(m-1)<(m^2+m+1)$ implica $a=0$. Ciò implica$m=2$ una contraddizione da allora $m$ deve essere strano.
Impostiamo i cubi su $8m^3$ e $8m^3+12m^2+6m+1$. Come$8m^3$ è pari e non funziona per $n=0$, è impossibile. Per il secondo, ignorando il file$1$ puoi tenerlo in considerazione $2m(4m^2+6m+3)$. Dal momento che non c'è niente di naturale in cui$4m^2+6m+3=1$ è impossibile essere un $2^n$ per naturale $n$.