Prova che$\triangle ABC=\left(\triangle DEF \cdot \triangle XYZ\right)^{1/2}$

Question

In$\triangle ABC$,$D$,$E$,$F$sono punti sui lati$BC$,$CA$,$AB$. Anche,$A$,$B$,$C$sono punti su$YZ$,$ZX$,$XY$di$\triangle XYZ$per cui$EF \parallel YZ$,$FD \parallel ZX$,$DE \parallel XY$. Dimostra che l'area di$$\triangle ABC=\left(\triangle DEF \cdot \triangle XYZ\right)^{1/2}$$

Non ho davvero idea di come affrontare questa domanda. Qualsiasi aiuto sarebbe molto apprezzato. L'unica cosa che so è$\triangle DEF \sim \triangle XYZ$.

Non conosco l'omotetia e mi aspetto di risolvere questo problema solo usando tecniche elementari come la somiglianza, il teorema di Menelao, il teorema di Ceva ecc. È consentita anche la trigonometria.

Answer 1

Senza perdita di generalità, supponiamo che$[XYZ]$(l'area di$\triangle XYZ$) è$1$, e il rapporto di somiglianza tra$\triangle DEF$e$\triangle XYZ$è$r<1$(affinché$[DEF] = r^2$).

Permettere$a, b, c$essere le distanze tra$EF$e$YZ$, fra$ZX$e$FD$, e tra$XY$e$DE$, rispettivamente.

Poi abbiamo$[AEF] = \frac a2 \cdot EF$,$[BFD] = \frac b2 \cdot FD$, e$[CDE] = \frac c2 \cdot DE$dalla formula per l'area del triangolo; sommandoli insieme, abbiamo$$[ABC] - [DEF] = \frac a2 \cdot EF + \frac b2 \cdot FD + \frac c2 \cdot DE.$$

D'altra parte, abbiamo$[AEY] = \frac a2 \cdot AY$,$[AFZ] = \frac a2 \cdot AZ$,$[BFZ] = \frac b2 \cdot BZ$,$[BDX] = \frac b2 \cdot BX$,$[CDX] = \frac c2 \cdot CX$, e$[CEY] = \frac c2 \cdot CY$; sommandoli insieme e notando che per esempio$YZ = AY + AZ$, noi abbiamo$$[XYZ] - [ABC] = \frac a2 \cdot YZ + \frac b2 \cdot ZX + \frac c2 \cdot XY.$$

Perché$r$è il rapporto di somiglianza tra$\triangle DEF$e$\triangle XYZ$, noi abbiamo$EF = r \cdot YZ$,$FD = r \cdot ZX$, e$DE = r \cdot XY$, che ci dice questo
$$ [ABC] - [DEF] = r([XYZ] - [ABC]). $$Ricordiamo che abbiamo ipotizzato$[XYZ] = 1$e$[DEF] = r^2$, quindi ora abbiamo$[ABC] - r^2 = r(1 - [ABC])$. Risolvendo, otteniamo$[ABC] = r$, Così$[ABC] = \sqrt{r^2 \cdot 1} = \sqrt{[DEF] \cdot [XYZ]}$.

Answer 2

Dire,$\triangle DEF = p$, quindi triangolo$\triangle XYZ = p(t^2)$dove t è il rapporto tra i lati di$\triangle XYZ$a$\triangle ABC$.

$\triangle XYZ = [XDEY] + [YEFZ] + [XDFZ] + \triangle DEF$(3 parallelogrammi +$\triangle DEF$).

Dire,$EF = a, FD = b, DE = c$

$\triangle XYZ = \dfrac{1}{2}[c(1+t)h_3 + a(1+t)h_1 + b(1+t)h_2] + \triangle DEF$ $p(t^2) = \dfrac{1}{2}[c(1+t)h_3 + a(1+t)h_1 + b(1+t)h_2] + p$

$2p(t^2) = c(1+t)h_3 + a(1+t)h_1 + b(1+t)h_2 + 2p$...(io)

Adesso,$\triangle ABC = \triangle CDE + \triangle AEF + \triangle BDF + \triangle DEF$

$\triangle ABC = \dfrac{1}{2}(c.h_3 + a.h_2 + b.h_1) + p$...(ii)

Da (i) e (ii),

$p(t^2) = (\triangle ABC - p)(1+t) + p$

$p(t-1) = \triangle ABC - p$

$\triangle ABC = pt = \sqrt{p.pt^2} = \sqrt{\triangle DEF.\triangle XYZ}$