Prova di$\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G \cong \mathfrak{S}_{F \times_H G}$, categorie fibrate in set

Question

Lemma 3.34: Per$F,G,H$prefasci in categorie/insiemi discreti:$$\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G \cong \mathfrak{S}_{F \times_H G}$$

Dimostrazione: gli unici 2-morfismi di categorie fibrati in insiemi sono identità. (Rif:http://wwwf.imperial.ac.uk/~dg3215/other/stacks.pdf)

Domanda: Non sono del tutto sicuro della dimostrazione in cui fanno uso di 2-morfismi di categorie fibrate in insiemi sono identità nel dimostrare il lemma.

Tentativo: Vogliamo mostrare un'equivalenza di categorie tra$\mathfrak{S}_{F \times_H G}$e$\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G$. È sufficiente verificare fiberwise che$\mathfrak{S}_{F \times_H G}(S) \cong \mathfrak{S}_F(S) \times_{\mathfrak{S}_H(S)} \mathfrak{S}_G(S)$per tutti$S \in \mathfrak{S}$. Per lemma$3.9$,$\mathfrak{S}_{F}$è una categoria in fibra finita$\mathfrak{S}$, quindi possiamo usare il lemma$3.31$che si applica alle categorie in fibra e ottieni$\mathfrak{S}_{F \times_H G}(S) \cong \mathfrak{S}_F(S) \times_{\mathfrak{S}_H(S)} \mathfrak{S}_G(S)$per tutti$S \in \mathfrak{S}$. Otteniamo un 1-morfismo, isomorfismo$\alpha: \mathfrak{S}_{F \times_H G} \cong \mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G$, e indichiamo l'inverso come$\alpha^{-1}$. Questa è un'equivalenza dal 2-morfismo$(\alpha^{-1} \circ \alpha) \Rightarrow Id_{\mathfrak{S}_{F \times_H G}}$è l'identità, quindi un 2-isomorfismo. Allo stesso modo,$(\alpha \circ \alpha^{-1}) \Rightarrow Id_{\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G}$è un 2-isomorfismo.

Richiamo/Riepilogo (Esempio 3.8 p17):

La 2-categoria$\mathfrak{S}_F$:

Permettere$F : \mathfrak{S}^{opp} \to Categories$essere un funtore (cioè un prefascio di categorie). Associare a$F$la seguente categoria di fibre$\mathfrak{S}_F$Sopra$\mathfrak{S}$: Gli oggetti sono coppie$(U,x)$di oggetti$U$in$\mathfrak{S}$e$x \in F(U)$. Morfismi da$(U, x)$a$(V, y)$sono coppie$(f, \varphi)$di morfismi$f : U \to V$e$\varphi : x \to f^* y$, dove scriviamo$f^∗ := F(f)$. La composizione di$(g, \psi : y \to g^∗z) \circ (f, \varphi : x \to f^∗y)$è definito come$(g \circ f, f^∗(\psi) \circ \varphi)$. La proiezione a$\mathfrak{S}$dimentica il secondo componente delle coppie.

Answer 1

Sembra che ci siano due punti di confusione nella domanda.

Punto 1: Perché gli unici 2-morfismi di categorie sono fibrati negli insiemi le identità?

Bene, cos'è un 2-morfismo di categorie in fibra?

Permettere$A$essere la categoria di base,$P:B\to A$,$Q:C\to A$categorie fibrate (oltre$A$),$F,G:P\to Q$1-morfismi di categorie in fibra (cioè funtori tali che$QF=QG=P$). Quindi un 2-morfismo$\alpha:F\to G$è una trasformazione naturale da$F$a$G$con la proprietà che$Q(\alpha_b)=1_{Pb}$per tutti$b\in B$(cioè,$\alpha_b$si trova nella Q-fibra sopra$Pb$per tutti$b \in B$).

Nel caso che$Q$è fibrato in set, da allora$\alpha_b$è sempre nel$Q$-fibra sopra$Pb$(che è discreto/un insieme), lo abbiamo$\alpha_b$è un morfismo identitario. Da$\alpha_b:Fb\to Gb$è un morfismo identitario, ne concludiamo$Fb=Gb$per tutti$b\in B$, e per tutti$f:b\to b'$, la naturalezza quadra la forza$Ff=Gf$, Così$F=G$, e$\alpha=1_F=1_G$.

In altre parole, se$Q$ha fibre discrete, quindi le categorie hom$\mathbf{Fib/A}(P,Q)$sono anche discreti.

Punto 1.5: Implicazioni del punto 1 per i prodotti a 2 fibre rispetto ai prodotti a 1 fibra

Pretesa: se$R:D\to A$è una categoria in fibra con fibre discrete, e$P:B\to A,Q:C\to A$sono categorie arbitrarie in fibra, e$F:P\to R$,$G:Q\to R$sono 1-morfismi di categorie in fibra, quindi il prodotto 1-fibra$P\times_R^1 Q$è infatti il ​​prodotto a 2 fibre$P\times_R^2 Q$.

Ecco una semplice prova. Supponiamo che ti dia un quadrato di 2 pendolari$$ \require{AMScd} \begin{CD} T @>>> P \\ @VVV @VVV \\ Q @>>> R, \\ \end{CD} $$poi perché$R$ha fibre discrete, l'unico 2-morfismo che può far commutare questo quadrato è un'identità, quindi in realtà 1-commuta. Quindi c'è un morfismo unico$T\to P\times_R^1 Q$. L'unicità di questo morfismo garantisce l'unicità fino all'isomorfismo, quindi questo rende$P\times_R^1 Q$soddisfare la proprietà universale di un prodotto a 2 fibre di$P$e$Q$Sopra$R$.

In alternativa, basta controllare quando$R$ha fibre discrete, la costruzione esplicita di$P\times^2_R Q$si riduce a qualcosa di isomorfo alla consueta costruzione di$P\times^1_R Q$.

Punto 2: Perché questo fatto implica il risultato dichiarato?

userò$\int U$per indicare la categoria di elementi/costruzione Grothendieck per$U:A^{\text{op}}\to \mathbf{Cat}$, poiché questa è la notazione più standard nella mia esperienza, almeno per i prefasci valutati in insiemi.

Vogliamo mostrare$$\int U\times_{\int W} \int V\cong \int U\times_W V$$dove$U\overset{\phi}{\to} W \overset{\psi}{\leftarrow} V$è un cospan di prefasci di categorie, e$W$è valutato in categorie discrete.

Sappiamo che il prodotto in fibra a sinistra può essere considerato il prodotto a 1 fibra quando$W$è un precovo in$\mathbf{Set}$. Quindi gli oggetti sul lato sinistro sono tuple$((a,u),(a,v))$insieme a$u\in U(a)$,$v\in V(a)$, tale che$\phi(u)=\psi(v)$, e morfismi da$((a,u),(a,v))$a$((a',u'),(a',v'))$sul lato sinistro ci sono le tuple$((f:a\to a',\alpha : u\to f^*u'),(f,\beta: v\to f^*v'))$, tale che$\phi(\alpha)=\psi(\beta)$.

D'altra parte, gli oggetti sul lato destro sono tuple$(a,(u,v))$insieme a$(u,v)\in (U\times_W V)(A)=U(A)\times_{W(A)} V(A)$, e morfismi$(a,(u,v))\to (a',(u',v'))$sul lato destro ci sono le coppie$(f:a\to a', (\alpha,\beta):(u,v)\to f^*(u',v'))$.

Confrontando i dati, vediamo che le due parti sono costituite dagli stessi dati e possiamo dare un isomorfismo tra le due categorie.

Nota finale

quando$U$e$V$sono anche prefasci valutati in insiemi, questo diventa ancora più semplice, poiché i morfismi a sinistra ora sono solo$f:a\to a'$tale che$u=f^*u'$,$v=f^*v'$, e lo sono anche i morfismi a destra$f:a\to a'$tale che$(u,v)=f^*(u',v')$.