Puoi prendere infinite radici quadrate di Pauli-X?
Sto cercando di trovare il costo per un gate Toffoli a n bit basato sul circuito ricorrente presentato sul lavoro di Barenco nel Lemma 7.5 ( Porte elementari per il calcolo quantistico )
La costruzione richiede che prendiamo iterativamente la radice quadrata di Pauli X. Mi chiedevo se esiste qualche prova che possiamo sempre prendere la radice quadrata di Pauli X quante più volte possibile?
Risposte
Le matrici unitarie possono essere elevate a qualsiasi potenza, comprese le potenze frazionarie, in modo da poter trovare qualsiasi radice tu voglia. Si trova la radice componendo automaticamente la matrice, modificando gli autovalori (portandoli alla potenza desiderata), quindi rimontando la matrice.
Nel caso della matrice Pauli X, gli autovettori sono $|+\rangle\langle +|$ e $|-\rangle\langle -|$ così puoi trovare radici come questa:
$$X^s = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 &1\end{bmatrix} + \frac{e^{i \pi s}}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}$$
Una volta fatto ciò, la vera sfida si sta realizzando $X^s$cancelli utilizzando il set di porte che hai a disposizione sul tuo computer. Ad esempio, se si sta utilizzando il set di porta + T Clifford allora si potrebbe approssimare la rotazione con una serie di porte H e T .
Nota che, per eseguire un NOT controllato da molti, ci sono costruzioni più efficienti senza ancilla di quella che hai collegato: https://algassert.com/circuits/2015/06/22/Using-Quantum-Gates-instead-of-Ancilla-Bits.html