Qual è il modo corretto per scrivere una moltiplicazione tra scalare e vettore?
La regola della moltiplicazione delle matrici afferma che il numero di colonne dell'operando sinistro è uguale al numero di righe dell'operando destro.
$M*N$ se M ha $n$ colonne e N dovrebbero avere $n$ righe.
Seguendo questa convenzione, il modo naturale per scrivere una moltiplicazione tra un vettore e uno scalare è di mettere il vettore sul lato sinistro --- prendendo scalare come una matrice 1 per 1.
tuttavia, ho scoperto che, molto spesso le persone non seguono la regola di cui sopra: usando la decomposizione autogena come esempio:
wiki di decomposizione autogena
$A\upsilon=\lambda\upsilon$
C'è qualche regola pratica per guidarci quando dovremmo mettere scalare sul lato sinistro?
Risposte
La moltiplicazione scalare e la moltiplicazione di matrici sono 2 operazioni separate. Anche se contengono la stessa parola "moltiplicazione", sono completamente diversi.
La moltiplicazione di matrici non è commutativa - in modo da avere a mettere la matrice a destra sul lato destro, non si tratta di convenzioni. Gli scalari sono commutativi e puoi metterli su entrambi i lati.
Non credo che ci sia una convenzione scritta di per sé: le persone si sono semplicemente abituate a mettere i coefficienti prima di altri termini. Se metti uno scalare a destra, a seconda del campo in cui lavori, alcune persone che leggono le tue espressioni potrebbero fermarsi e pensare "hugh, aspetta, stiamo lavorando con l'algebra non commutativa?" per un momento. Inoltre alcune persone potrebbero pensare "hugh, è uno scalare o mi manca qualcosa?". Potrebbero essere necessari alcuni cicli cerebrali in più per un lettore, quindi terrei gli scalari a sinistra, ma probabilmente non sarà una tragedia se li metti dall'altra parte.
Sebbene sia possibile imitare la moltiplicazione scalare usando$1\times n$ o $n \times 1$matrici: non è quello che è nella sua essenza. Ancora una volta, queste sono operazioni diverse e solo una di esse è commutativa.
Questa è solo una questione di convenzioni notazionali. Di solito gli assiomi di uno spazio vettoriale sono formulati scrivendo la moltiplicazione scalare nella forma$$\lambda \cdot v$$ dove $v \in V$ e $\lambda$ appartiene al campo di terra $K$. Il motivo è che di solito lo comprendiamo nel prodotto$\mu \cdot \lambda$ di elementi di $K$abbiamo un primo fattore$\mu$e un secondo fattore$\lambda$. In un campo (la cui moltiplicazione è commutativa) l'ordine dei fattori sembra essere irrilevante (perché$\mu \cdot \lambda = \lambda \cdot \mu$), ma in un anello $R$(la cui moltiplicazione è in genere non commutativa) l'ordine è essenziale. Questo vale ad esempio per l'anello di$n\times n$-matrici su un campo. Uno degli assiomi di uno spazio vettoriale è$$(\mu \cdot \lambda) \cdot v = \mu \cdot (\lambda \cdot v)$$ che è mnemonicamente più facile della stessa formula scritta tramite moltiplicazione scalare da destra $$v \cdot (\mu \cdot \lambda) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$ Va bene, per un campo questo non fa molta differenza poiché dice lo stesso di $$v \cdot (\lambda \cdot \mu) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$Ma si noti che il concetto di uno spazio vettoriale può essere generalizzato a quello di un modulo su un anello$R$e qui l'ordine fa la differenza. In effetti, si distingue tra sinistra e destra$R$-moduli. Per sinistra$R$-muoduli di solito si scrive la mutliplicazione scalare come $\lambda \cdot v$, per il diritto $R$-moduli come $v \cdot \lambda$. Vedi qui .
Veniamo ora al nocciolo della tua domanda. Il prodotto matrice$A \bullet B$ è generalmente definito per un file $m\times n$ matrice $A$ e un $n\times p$ matrice $B$, cioè richiediamo che il numero di colonne di $A$ è uguale al numero di righe di $B$. Come dici tu, uno scalare$\lambda$ può essere considerato il $1 \times 1$ matrice $(\lambda)$. Pertanto vengono definite le seguenti due espressioni:$$(\lambda) \bullet A \text{ for } 1 \times n \text{ matrices } A \tag{1} $$ $$A \bullet (\lambda) \text{ for } n \times 1 \text{ matrices } A \tag{2} $$ Nel $(1)$ $A$è chiamato vettore riga , in$(2)$un vettore colonna .
Dipende quindi dalla tua notazione preferita: se consideri gli elementi di $K^n$ come vettori di riga, devi usare $(1)$, se li consideri come vettori colonna, devi scrivere $(2)$.
Ad ogni modo, questo è rilevante solo se insisti con tutti i mezzi per comprendere il prodotto scalare di$\lambda$ e $A$come prodotto a matrice. Di solito per$A = (a_{ij})$ si definisce semplicemente $$ \lambda \cdot (a_{ij}) = (\lambda \cdot a_{ij}) .$$ In questo modo non importa se si considerano gli elementi di $K^n$ come vettori riga o come vettori colonna.