Qual è il momento lineare di un corpo rotante?
Diciamo che un oggetto tridimensionale con distribuzione di massa continua sta subendo un movimento rotatorio attorno a un asse che giace sul centro di massa. La velocità di traslazione del centro di massa è$\vec{0}$.
Capisco che il momento angolare non è zero perché la direzione del$\vec{r} \times d\vec{p}$il vettore è lo stesso per tutti i punti dell'oggetto, quindi si sommano per formare il momento angolare totale.
Tuttavia non sono riuscito a derivare quantitativamente a cui è uguale il momento lineare dell'oggetto$\vec{0}$. Ho cercato di usare la simmetria o la geometria nel calcolo dell'integrale$$\vec{p} = \int dm \ \vec{v}$$ma per una distribuzione di massa continua casuale, con densità non costante$\rho(\vec{r})$, non è stato facile.
C'è qualche buona giustificazione matematica che mostri chiaramente che la quantità di cui sopra è zero? (Ad esempio, ho visto il ragionamento secondo cui si tratta di una derivata temporale delle coordinate di COM rispetto alla COM, quindi dovrebbe essere zero ma si basa fortemente sull'intuizione fisica.)
Risposte
Ogni particella$m_i$situato in$\boldsymbol{r}_i$rispetto al centro di massa ha velocità lineare$\boldsymbol{v}_i = \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}_i$. Proprio come si sommano tutte le masse$m=\sum_i m_i$per ottenere la massa totale, si sommano tutti i momenti per ottenere il momento traslazionale totale
$$ \boldsymbol{p} = \sum_i m_i \boldsymbol{v}_i = \sum_i m_i ( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_i ) = \boldsymbol{\omega}\times \sum_i m_i \boldsymbol{r}_i$$
Ma per definizione di centro di massa$\sum_i m_i \boldsymbol{r}_i =0$, Così$\boldsymbol{p} = 0$
Vedi questa risposta con molti più dettagli sulla derivazione del momento (lineare e angolare) per un gruppo co-rotante di particelle.
La velocità di un punto$dm$è$r\omega$, dove$r$è la distanza radiale del punto dal centro di massa.
Orienta un sistema di coordinate al centro di massa, il tuo integrale prende la forma
$$ \vec{p} = \int \limits_0^M \vec{\omega}\times\vec{r} ~ dm = \vec{\omega} \times \int \int \int r \rho(\vec{r}) ~dV$$
Ma notate che l'integrale a destra è proprio la definizione del centro di massa, in questo quadro di coordinate, cioè all'origine, con coordinate$\vec{0}$.
Perciò,
$$p = \omega \cdot 0 = 0.$$