Qual è il momento lineare di un corpo rotante?

Aug 23 2020

Diciamo che un oggetto tridimensionale con distribuzione di massa continua sta subendo un movimento rotatorio attorno a un asse che giace sul centro di massa. La velocità di traslazione del centro di massa è$\vec{0}$.

Capisco che il momento angolare non è zero perché la direzione del$\vec{r} \times d\vec{p}$il vettore è lo stesso per tutti i punti dell'oggetto, quindi si sommano per formare il momento angolare totale.

Tuttavia non sono riuscito a derivare quantitativamente a cui è uguale il momento lineare dell'oggetto$\vec{0}$. Ho cercato di usare la simmetria o la geometria nel calcolo dell'integrale$$\vec{p} = \int dm \ \vec{v}$$ma per una distribuzione di massa continua casuale, con densità non costante$\rho(\vec{r})$, non è stato facile.

C'è qualche buona giustificazione matematica che mostri chiaramente che la quantità di cui sopra è zero? (Ad esempio, ho visto il ragionamento secondo cui si tratta di una derivata temporale delle coordinate di COM rispetto alla COM, quindi dovrebbe essere zero ma si basa fortemente sull'intuizione fisica.)

Risposte

1 JohnAlexiou Aug 23 2020 at 12:47

Ogni particella$m_i$situato in$\boldsymbol{r}_i$rispetto al centro di massa ha velocità lineare$\boldsymbol{v}_i = \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}_i$. Proprio come si sommano tutte le masse$m=\sum_i m_i$per ottenere la massa totale, si sommano tutti i momenti per ottenere il momento traslazionale totale

$$ \boldsymbol{p} = \sum_i m_i \boldsymbol{v}_i = \sum_i m_i ( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_i ) = \boldsymbol{\omega}\times \sum_i m_i \boldsymbol{r}_i$$

Ma per definizione di centro di massa$\sum_i m_i \boldsymbol{r}_i =0$, Così$\boldsymbol{p} = 0$

Vedi questa risposta con molti più dettagli sulla derivazione del momento (lineare e angolare) per un gruppo co-rotante di particelle.

BobakHashemi Aug 23 2020 at 13:04

La velocità di un punto$dm$è$r\omega$, dove$r$è la distanza radiale del punto dal centro di massa.

Orienta un sistema di coordinate al centro di massa, il tuo integrale prende la forma

$$ \vec{p} = \int \limits_0^M \vec{\omega}\times\vec{r} ~ dm = \vec{\omega} \times \int \int \int r \rho(\vec{r}) ~dV$$

Ma notate che l'integrale a destra è proprio la definizione del centro di massa, in questo quadro di coordinate, cioè all'origine, con coordinate$\vec{0}$.

Perciò,

$$p = \omega \cdot 0 = 0.$$