Qual è la differenza tra singolarità di coordinate e di curvatura?
Di recente mi sono imbattuto nella seguente domanda:
La metrica di Schwarzschild nelle coordinate di Eddington in entrata ha l'elemento linea $$d s^{2}=-\left(1-\frac{2 M}{r}\right) d v^{2}+2 d v d r+r^{2}\left(d \theta^{2}+\sin ^{2} \theta d \phi^{2}\right)$$Quali sono le singolarità delle coordinate? Quali sono le singolarità di curvatura?
Il primo problema è che non so davvero quale sia la differenza tra queste due cose. Se dovessi indovinare, direi che le singolarità delle coordinate sono singolarità dovute a una scelta sbagliata del sistema di coordinate (ho in mente il raggio di Schwarzschild, nella forma standard dell'elemento linea) mentre le singolarità di curvatura sono "vere" singolarità, ovvero esistono indipendentemente dalla scelta del sistema di coordinate.
Se questo è vero, sembra abbastanza semplice leggere queste cose semplicemente guardando l'elemento linea. Nell'esempio sopra avrei detto che non ci sono singolarità coordinate e solo una vera singolarità ($r=0$). Ci sono esempi in cui non è così facile vedere / indovinare queste due cose?
Un'altra cosa che mi confonde un po 'su questi due concetti è che le persone a volte parlano di "invarianti di curvatura" $R^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$ ($R_{\mu\nu}$ essendo il tensore di Ricci) e $R_{\alpha\beta\gamma\delta}R^{\alpha\beta\gamma\delta}$ ($R_{\alpha\beta\gamma\delta}$essendo il tensore di curvatura) e sembrano fare affermazioni sulle singolarità da queste due quantità. In che modo queste due cose sono collegate alla curvatura e alle singolarità coordinate?
Risposte
Hai ragione nelle tue definizioni di coordinate e singolarità di curvatura.
Si noti che lo scalare risultante dalla contrazione completa di un tensore è una quantità indipendente dalle coordinate.
Se si riesce a trovare un sistema di coordinate in cui un tensore è zero, allora è necessariamente zero in tutti i sistemi di coordinate (un bell'esempio è che noi possiamo sempre trovare un sistema di coordinate in modo tale che i simboli di Christoffel spariscono dal momento che è non è un tensore, ma noi non è sempre possibile trovare un sistema di coordinate tale che il tensore di Riemann svanisca, poiché ciò implicherebbe una curvatura nulla in tutti i sistemi di coordinate).
Con lo stesso ragionamento, se è possibile trovare un sistema di coordinate in cui un tensore è singolare (esplode all'infinito), allora è necessariamente singolare in tutti i sistemi di coordinate. Quindi$R_{\alpha\beta\gamma\delta}R^{\alpha\beta\gamma\delta}$ essere singolari implica che non abbiamo appena fatto una scelta sbagliata delle coordinate, c'è una singolarità inevitabile nel punto nello spaziotempo in cui stiamo valutando il tensore.
Una singolarità di curvatura è una singolarità fisica reale. Tutti gli osservatori dovrebbero concordare sul fatto che a quel punto la curvatura è infinita. Un invariante di curvatura è ovviamente invariante di coordinate. Se per esempio lo scalare di Kretschmann (la norma del tensore di Riemann, il tensore di Riemann al quadrato) soffia in quel punto per una data metrica allora se eseguiamo una ridefinizione delle coordinate non cambieremo la geometria dello spaziotempo, cambieremo le coordinate con cui misuriamo , quindi lo scalare di Kretschmann sarà ancora infinito a quel punto.
Nel tuo caso il tensore di Ricci al quadrato sarà zero perché sei sotto vuoto.