Qual è la giusta definizione di differenziabile continua?
Supponiamo $V$ e $W$ sono spazi di Banach, $U\subset V$ è aperto e $F:U\to W$è una funzione differenziabili. Quindi la derivata di$F$ è la mappa $$ DF:U\to B(V;W) $$ dove $B(V;W)$ è lo spazio di Banach delle mappe lineari continue $V\to W$.
Lo diciamo noi $F$è di classe $\mathcal{C}^1$ a un certo punto $x_0\in U$ se la mappatura $$ U\ni x\mapsto DF(x) \in B(V;W) $$ è continuo a $x_0$; lo diciamo noi$F$è di classe $\mathcal{C}^1$ sopra $U$ Se $F$ è di classe $\mathcal{C}^1$ in ogni punto $U$.
Se $X$ è un sottoinsieme arbitrario dello spazio di Banach $V$ e $f:X\to W$ è una mappa, allora lo diciamo $f$è di classe $\mathcal{C}^1$ sopra $X$ se esiste un sottoinsieme aperto $U$ di $V$ dove $X\subset U$ e una funzione $F:U\to W$ di classe $\mathcal{C}^1$ sopra $U$ dove $F|_X=f$. (Informalmente, possiamo estendere$f$ a un set aperto su cui è di classe $\mathcal{C}^1$.)
Vedi questa risposta per una funzione$f$che è continuamente differenziabili in un unico punto. Vale a dire, se$g(t)=t^2\sin(1/t)$ per $t\in\mathbb{R}$ poi la funzione $$ f(t) = \sum_{n\geq 1} \frac{g(t-1/n)}{2^n} $$ è continuamente differenziabili in $t=0$. Però,$f$ ha discontinuità arbitrariamente vicine all'origine quindi $f$ non può essere di classe $\mathcal{C}^1$ su qualsiasi set aperto contenente $0$.
Questo è, $f$ è una funzione che è di classe $\mathcal{C}^1$ a $0$, ma $f$ non è $\mathcal{C}^1$ sopra $\{0\}$.
Questo non mi sembra giusto. Ovviamente, non è "tipico" che una funzione che incontriamo si comporti in questo modo. Tuttavia, questo esempio mi dà ancora fastidio. Cosa possiamo fare? Possiamo modificare leggermente le definizioni di cui sopra in modo che ciò non accada? La risposta a cui ho fatto riferimento è in qualche modo errata? (Non ho potuto provare i risultati che ha dichiarato ...)
Risposte
Per come la conosco io, una funzione è $\mathcal C^1$ su un set $X\subseteq V$ se è $\mathcal C^1$ all'interno di $X$ e $\mathrm Df$ può essere esteso continuamente a $X$. Con questa definizione, la tua funzione di esempio sarebbe$\mathcal C^1$ sopra $\{0\}$, poiché l'interno di questo set è vuoto e qualsiasi funzione è vacua $\mathcal C^1$sul set vuoto. Ma questa definizione è davvero interessante solo su set con interni non vuoti. Il comportamento di questa definizione sui set che non soddisfano$X=\overline{X^\circ}$, piace $\{0\}$, è solo un artefatto divertente. Inoltre, risulta in funzioni che sono$\mathcal C^1$ sopra $\{0\}$, ma no $\mathcal C^1$ in $0$, quindi il dilemma opposto di quello che hai menzionato.
Per questi motivi, in genere è meglio limitarsi a set aperti o chiusure di set aperti e non preoccuparsi $\mathcal C^1$-ness su set singleton. Non produrrebbe comunque grandi intuizioni. Quindi una definizione verrebbe letta come tale:
Permettere $U\subseteq V$essere aperto. Poi$\mathcal C^1(U,W)$ è l'insieme di tutte le funzioni continuamente differenziabili $U\to W$, e $\mathcal C^1(\overline U,W)$ è l'insieme di tutte le funzioni continue $f:\overline U\to W$ per cui $f\vert_U\in\mathcal C^1(U,W)$ tale che $\mathrm D(f\vert_U)$ può essere esteso continuamente a $\overline U$.