Qual è la storia del termine "co-dominio"?
Mi chiedo se qualcuno sappia di più sulla storia del termine "co-dominio" in relazione alle funzioni.
Ho trovato due fonti:
Russell e Whitehead, Principia Mathematica, 1915, pagina 34:
la classe di tutti i termini con cui qualcosa o altro ha la relazione $R$è chiamato il dominio inverso di$R$; è lo stesso del dominio del contrario di$R$.
Cassius Keyser, Filosofia matematica, 1922, pagina 168:
Una relazione $R$ha quello che viene chiamato un dominio , - la classe di tutti i termini tale che ciascuno di essi ha la relazione con qualcosa o altro, - e anche un codominio - la classe di tutti i termini tale che, dato uno di essi, qualcosa ha la relazione con esso.
Mi sembra che quando Keyser parla di un "codominio", parli della stessa cosa del "dominio inverso" di Russell e Whitehead. Quindi, sembra che siamo passati da "dominio converse" a "codominio" .... a "co-dominio"? Questo sembrerebbe avere un senso.
Inoltre, entrambi i testi parlano di relazioni, non di funzioni. Ma una funzione è ovviamente un tipo speciale di relazione. Quindi ... ha ancora senso.
Tuttavia! (e questo è proprio il motivo per cui sto facendo questa domanda): il modo in cui questi due testi parlano del 'dominio inverso' e del 'codominio' è (quando applicato alle funzioni) ciò che oggi chiamiamo la 'gamma' o 'immagine' del funzione, e non quello che oggi chiamiamo il suo "co-dominio".
Esempio concreto:
Prendi una funzione $f$ il cui dominio è definito come $\mathbb{R} - \{ 0 \}$, il cui co-dominio è definito come $\mathbb{R}$e la cui mappatura è definita come $f(x) =1/x$.
Per questa funzione, l'intervallo o l'immagine è $\mathbb{R} - \{ 0 \}$, e questo è ciò che (di nuovo, se vediamo questa funzione come una relazione) Russell e Whitehead considererebbero il suo "dominio inverso" ciò che Keyser chiamerebbe il suo "codominio".
Ma il "co-dominio" di questa funzione è stato definito come $\mathbb{R} - \{ 0 \}$
Quindi penso che ci sia stato un cambiamento nell'uso del termine ... Cioè, sembra che abbiamo:
"dominio converse" -> "codominio" -> "intervallo"
... mentre 'co-dominio' è qualcosa di diverso!
È strano! Quello che è successo? Qualcuno ha un'idea di tutto questo?
Risposte
È un riconoscimento precoce della dualità nella teoria degli insiemi. Domain vs Codomain suggerisce una relazione che manca nel dominio e nell'intervallo.
Questo è nascosto nella teoria degli insiemi poiché le funzioni sono distorte in quanto non sono definite simmetricamente. Né è facile concettualizzare le funzioni da una a molte in modo naturale e in coppia le funzioni da molte a una, cosa che fanno naturalmente.
Questo è fissato nella teoria delle categorie in cui la dualità è resa esplicita, piuttosto che nel modo segreto e furtivo in cui è fatto nella teoria degli insiemi. Inoltre, la teoria delle categorie è la corretta concettualizzazione della covarianza come nella nozione di covarianza generale che Einstein usò euristicamente nelle sue indagini sul carattere generale della legge fisica.
È interessante notare che una delle principali scoperte della teoria delle stringhe è il ruolo che le dualità giocano in fisica. (Nella fisica ordinaria, vediamo la dualità manifestarsi nella dualità tra i campi elettrico e magnetico). Non mi sorprenderebbe se in fondo questo avesse la stessa radice delle dualità nella teoria delle categorie.