Quali sono gli ellissoidi di John per una coppia di insiemi convessi (9 e 15 dimensioni) di $4 \times 4$ matrici definite positive?
Quali sono gli ellissoidi di John ( JohnEllipsoid ) per gli insiemi convessi a 9 e 15 dimensioni ($A,B$) di $4 \times 4$matrici a definizione positiva, traccia 1 simmetriche (Hermitiane) (nel gergo dell'informazione quantistica, gli insiemi di "matrici di densità" "a due rebit" e "a due qubit" [ DensityMatrices ], rispettivamente)? (Questi corpi sono "centralmente simmetrici", nel senso di un aspetto del teorema sottostante John Theorem ?)
Inoltre, qual è la relazione (intersezioni, ...) di questi ellissoidi con gli importanti sottoinsiemi convessi di $A$ e $B$ composta da quelle matrici che rimangono positive-definite sotto l'operazione (non completamente positiva) di trasposizione parziale, per la quale le quattro $2 \times 2$ blocchi di $4 \times 4$le matrici sono state trasposte? (È stato stabilito [ MasterLovasAndai ] che le frazioni di volume euclideo occupate da questi sottoinsiemi convessi "PPT" [trasposizione parziale positiva / separabile / non intricata] sono$\frac{29}{64}$ per $A$ e $\frac{8}{33}$ per $B$.)
Inoltre, qual è l'ulteriore relazione di questi ellissoidi con le "sfere" (le sfere massime inscritte in $A$ e $B$[ SBZ ])? Le inspher si trovano anche all'interno dei set PPT. Gli ellissoidi e le sfere di John potrebbero semplicemente coincidere?
Inoltre, quali potrebbero essere gli stessi ellissoidi di John per questi set PPT?
Esiste un concetto interessante di "ellissoide sterzante", a cui si fa riferimento nella citazione seguente p. 28 [SteeringEllipsoid] :
Per gli stati a due qubit, gli stati condizionali normalizzati Alice possono guidare il sistema di Bob per formare un ellissoide all'interno della sfera Bloch di Bob, indicato come ellissoide dello sterzo (Verstraete, 2002; Shi et al., 2011, 2012; Jevtic et al., 2014 ).
Tuttavia, la "sfera di Bloch" è tridimensionale, quindi l'ellissoide di governo di uno stato a due qubit non può essere l'ellissoide di John (a 15 dimensioni) richiesto sopra.
Naturalmente, la domanda su cosa sono gli ellissoidi di John può essere posta per gli insiemi convessi di $m \times m$ simmetrica e $n \times n$ Matrici di densità Hermitiane (definite positive, traccia 1) ($m,n \geq 2$). Per$m,n=2$, le risposte sembrano banali, ovvero gli stessi insiemi convessi. Per$m,n =3$, sembra forse non banale. Tuttavia, solo per valori compositi di$m,n$, abbiamo domande sussidiarie riguardo ai sottoinsiemi convessi degli stati PPT.
L'articolo di Wikipedia fornito dal primo collegamento ipertestuale sopra descrive il
"volume massimo inscritto nell'ellissoide come ellissoide di Löwner-John interno".
[ DensityMatrices ]: Slater - Una formula concisa per probabilità di separabilità di Hilbert-Schmidt generalizzate a due qubit
[ JohnTheorem ]: Howard - Il teorema dell'ellissoide di John
[ MasterLovasAndai ]: Slater - Master Lovas – Andai e formule equivalenti che verificano il$\frac8{33}$ probabilità di separabilità di Hilbert-Schmidt a due qubit e congetture a valori razionali compagne
[ SBZ ]: Szarek, Bengtsson e Życzkowski - Sulla struttura del corpo degli stati con trasposizione parziale positiva
[ SteeringEllipsoid ]: Uola, Costa, Nguyen e Gühne - Sterzo quantico
Risposte
Cominciamo con due formule apparentemente rilevanti. Il primo è per il volume di un file$k$-dimensionale ellissoide [Thm. 2.1, EllipsoidVolume ], \ begin {equation} vol_k = \ frac {2 \ pi ^ {k / 2} \ prod _ {i = 1} ^ k a_i} {k \ Gamma \ left (\ frac {k} {2 } \ right)}, \ end {equation} dove il$a_i$Sono le lunghezze dei semiassi.
L'altro è per il volume del set di $m \times m$matrici simmetriche definite positive della traccia 1 [(7.7), RebitVolume ]. \ begin {equation} Vol_m = \ frac {2 ^ {\ frac {1} {4} (m-1) m + m} \ sqrt {m} \ pi ^ {\ frac {1} {4} (m- 1) m- \ frac {1} {2}} \ Gamma \ left (\ frac {m + 1} {2} \ right) \ prod _ {l = 1} ^ m \ Gamma \ left (\ frac {l } {2} +1 \ right)} {m! \ Gamma \ left (\ frac {1} {2} m (m + 1) \ right)}. \ end {equation}
Per il caso ("two-rebit") $m=4$ ($k=9$) di immediato interesse, la formula restituisce \ begin {equation} \ frac {\ pi ^ 4} {60480} \ circa 0,0016106. \ end {equation}
Quindi, la questione di particolare interesse per noi è quale proporzione di questo volume è occupata dall'ellissoide di Lowner-John interno per l'insieme convesso dell'insieme a 9 dimensioni indicato di $4 \times 4$(densità) matrici. Inoltre, qual è la sua grandezza rispetto a$\frac{29}{64}$, la frazione stabilita da Lovas e Andai per la separabilità - equivalentemente, PPT - probabilità degli stati a due rebit? Inoltre, rispetto al volume della sfera (per il quale non abbiamo un calcolo immediato presente).
Quindi, per affrontare queste domande, abbiamo generato coppie di "matrici di densità a due rebit" generate casualmente (sec, 4, RandomDensityMatrices ), utilizzando i metodi Ginibre-ensemble. Quindi, abbiamo preso i valori assoluti delle loro differenze e diviso per 2. Nove voci indipendenti (tre diagonali e le sei diagonali superiori) della matrice risultante, sono state prese come semiassi.
A questo punto, abbiamo generato quasi sedici milioni di tali coppie. La coppia di$4 \times 4$ matrici di densità per le quali abbiamo trovato il volume ellissoide massimo associato, $6.98613 \cdot 10^{-8}$ (solo 0,0000432642 di $\frac{\pi ^4}{60480} \approx 0.0016106$), finora sono \ begin {equation} \ left (\ begin {array} {cccc} 0.424772 & -0.147161 & -0.3345 & -0.177458 \\ -0.147161 & 0.164668 & 0.146384 & 0.0925659 \\ -0.3345 & 0.146384 & 0.29387 & 0.157489 \\ -0.177458 & 0.0925659 & 0.157489 & 0.11669 \\ \ end {array} \ right) \ end {equation} e \ begin {equation} \ left (\ begin {array} {cccc} 0.135144 & 0.189631 & -0.03164 & 0.145386 \\ 0.189631 & 0.449171 & -0.180868 & 0.347037 \\ -0.03164 & -0.180868 & 0.126351 & -0.128246 \\ 0.145386 & 0.347037 & -0.128246 & 0.289334 \\ \ end {array} \ right). \ end {equation} La metà delle differenze assolute per queste due matrici delle tre voci diagonali iniziali e le sei voci fuori diagonali superiori sono usate come nove semiassi nella prima formula data sopra.
Sottolineiamo inoltre che esiste un approccio alternativo, ma equivalente fino a determinati fattori di normalizzazione, al calcolo dei volumi di $m \times m$matrici di densità ( AndaiVolume ). Andai, tuttavia, ha limitato l'attenzione al file$2 \times 2$ Caso Hermitiano, e non ha fornito un'alternativa esplicita alla formula del volume di Zyczkowski e Sommers presentata sopra - quindi, a questo punto, non siamo sicuri di quale forma avrebbe assunto.