Quali sono i numeri algebrici p-adici?

Question

"Dato $p$, quali sono gli elementi di $\mathbb{Q}_p$ algebrico finito $\mathbb{Q}$? "

Mi chiedo periodicamente questo e mi imbatto in questa domanda di overflow matematico che sembra chiedere la stessa cosa. La risposta scelta non sembra rispondere a quella domanda (che posso vedere), e googling "numeri algebrici p-adici" restituisce quella domanda come risultato principale. A quel punto mi arrendo e aspetto di dimenticare e riprovo. Quindi questa volta chiederò:

Conosci una (più conveniente) caratterizzazione di $\overline{\mathbb{Q}}\cap\mathbb{Q}_p$ o avere riferimenti per "$p$numeri algebrici -adici? "

Non sono sicuro che esista una caratterizzazione dei "numeri algebrici reali" molto più soddisfacente dei "numeri algebrici reali", ma il valore assoluto p-adico è intrinsecamente più "algebrico" del valore assoluto reale, e ci sono differenze come $p$ varia, quindi cosa sono?

Answer 1

Permettere $O_\overline{\Bbb{Q}}$ sii gli interi algebrici, si prenda un ideale massimale $\mathfrak{P}\subset O_\overline{\Bbb{Q}}$ contenente $p$, permettere $G=\{ \sigma\in Gal(\overline{\Bbb{Q}}/\Bbb{Q}), \sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}$, poi $G\cong Gal(\overline{\Bbb{Q}}_p/\Bbb{Q}_p)$ e $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ è (isomorfo a) il sottocampo di $\overline{\Bbb{Q}}$ risolto da $G$.

Allo stesso modo, lascia $S$ essere l'insieme delle estensioni algebriche (grado infinito) $K/\Bbb{Q}$ per cui qualche ideale massimale $\mathfrak{p}\subset O_K$ è tale che $O_K/\mathfrak{p}\cong \Bbb{Z}/p\Bbb{Z},p\not \in \mathfrak{p}^2$. Poi$\Bbb{Z}_p$ è (isomorfo a) il completamento di $O_K$ a $\mathfrak{p}$, e $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ è (isomorfo a) qualsiasi elemento massimale di $S$.