Quando è continua la periodizzazione di una funzione?
Considera una funzione $f\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$, dove $\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$denota lo spazio delle funzioni continue limitate che svaniscono all'infinito . Sono interessato a$T$-periodizzazione di tale funzione, definita come:$$f_{T}(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} f(t-nT),\quad \forall t\in \mathbb{R}.$$Come spiegato in Fischer - Sulla dualità di funzioni discrete e periodiche ,$f_{T}$ è un $T$-distribuzione periodica temperata se$f$è una funzione in rapido decadimento, ossia che svanisce all'infinito più velocemente di qualsiasi polinomio.
La mia domanda riguarda la regolarità di $f_T$:
Per quali funzioni $f\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$ è la funzione generalizzata periodizzata $f_{T}$definita sopra una funzione ordinaria e continua ?
In altre parole, quali dovrebbero essere le ipotesi su $f$ in modo che la sua periodizzazione sia continua?
Qualsiasi vantaggio sarebbe molto apprezzato. Grazie mille in anticipo!
Risposte
Hai solo bisogno di quello $f$diminuisce abbastanza velocemente da rendere la serie convergente uniformemente su set compatti. Ad esempio, sarebbe sufficiente$|x|^p |f(x)|$ è limitato per alcuni $p>1$. Quindi puoi stimare i termini della serie in modo uniforme su un intervallo compatto$[-a,a]$ per $nT>2a$ di $cn^{-p}$ con una costante $c$.
Risposta breve : ad esempio per le funzioni di Schwartz .
Risposta lunga : la trasformata di Fourier di "periodico" è "discreta" e la trasformata di Fourier di "discreto" è "periodica". Questa è una mappatura uno a uno. È spiegato in questo Fischer - Sulla dualità delle funzioni discrete e periodiche .
Analogamente, la trasformata di Fourier di "regolare" è "locale" e la trasformata di Fourier di "locale" è "regolare". È un'altra mappatura uno-a-uno. È spiegato in Fischer - Sulla dualità delle funzioni regolari e locali .
Il termine "regolare" si riferisce a funzioni ordinarie, infinitamente differenziabili che non crescono più velocemente dei polinomi. Queste funzioni (regolari) sono i cosiddetti operatori di moltiplicazione per distribuzioni temperate. Il loro prodotto di moltiplicazione con qualsiasi distribuzione temperata è di nuovo una distribuzione temperata.
Il termine "locale" si riferisce a distribuzioni temperate che sono "locali", cioè decadono rapidamente a zero (più velocemente dei polinomi). Queste funzioni (generalizzate) sono i cosiddetti operatori di convoluzione per distribuzioni temperate. Il loro prodotto di convoluzione con qualsiasi distribuzione temperata è di nuovo una distribuzione temperata.
Le proprietà di "regolare" e "locale" soddisfano un teorema di convoluzione sulle distribuzioni temperate .
Ora, le proprietà di "periodico", "discreto", "regolare" e "locale" possono essere combinate. Ad esempio, "locale + regolare" sono funzioni di Schwartz e la trasformata di Fourier delle funzioni di Schwartz sono, ancora una volta, funzioni di Schwartz ("locale + regolare"). Inoltre, la trasformata di Fourier di "periodico discreto" è di nuovo "periodico discreto". Produce la trasformata discreta di Fourier (DFT) .
Ora, il presupposto per le funzioni generalizzate che possono essere periodizzate è che siano "locali" e il presupposto per le funzioni generalizzate che possono essere discretizzate è che siano "regolari".
Quindi, tornando alla domanda originale , per periodizzare una funzione (ordinaria o generalizzata), deve essere "locale" e per consentirle di essere una funzione ordinaria deve essere "regolare". In altre parole, le funzioni Schwartz soddisfano questi due requisiti , sono "regolari + locali".
Questa proprietà delle funzioni di Schwartz di essere simultaneamente "regolari" e "locali", spiega il loro ruolo speciale come funzioni di test nella teoria della distribuzione e nella fisica quantistica .
Tuttavia, c'è una differenza tra "essere fluidi" nel senso delle funzioni ordinarie e generalizzate. Si può ricordare, ogni funzione generalizzata è liscia (infinitamente differenziabile) e, quindi, "continua". Per rispondere a questa domanda nel senso delle funzioni ordinarie, incorporato nella teoria delle funzioni generalizzate, ci sono più funzioni oltre alle funzioni di Schwartz. La funzione rettangolare , ad esempio, è liscia nel senso delle funzioni generalizzate ma non liscia nel senso delle funzioni ordinarie. La sua periodizzazione, tuttavia, produce la funzione che è costantemente 1 per T adatto che è una funzione regolare, ordinaria (in particolare continua). Quindi, ovviamente, le funzioni che sono continue su un intervallo [-T / 2, + T / 2] e tali che f (-T / 2) = f (+ T / 2) soddisfano anche il requisito.