Quando una categoria triangolata ha un cuore?
Supponiamo $\mathcal{T}$è una categoria triangolata. Quali sono le condizioni$\mathcal{T}$deve soddisfare per avere una struttura a t ? Se esiste una struttura a t , quali ulteriori condizioni lo garantirebbero$\mathcal{T}$ è la categoria derivata del suo cuore?
La mia domanda è motivata dalla continua ricerca di una categoria abeliana di motivi misti per i quali esistono diverse costruzioni di categorie triangolate. In questo contesto, è così
(1) le suddette condizioni sono soddisfatte da una o tutte le categorie triangolate esistenti in modo che sia assicurata l'esistenza della categoria abeliana e il problema rimanente è quello della costruzione di una struttura t , o
(2) le condizioni non sono note per essere soddisfatte da nessuna delle categorie triangolate esistenti, quindi anche l'esistenza di una struttura t è sconosciuta, o
(3) nessuna di queste condizioni è nota, cioè la risposta alle mie domande nel primo paragrafo è "non so!", Almeno in quella generalità.
Credo dalla mia lettura che l'opzione (1) non sia vera, ma l'ho inclusa solo per esserne sicuro. Grazie!
Risposte
Un'osservazione sciocca è che "banale" $t$-Le strutture esistono sempre. Probabilmente dovresti dire che vuoi un limitato o un non degenerato$t$-struttura. Per quanto ricordo, negativo diverso da zero$K$-gruppi di $T$dovrebbe ostacolare la prima condizione se credi che il cuore sia noetheriano o qualcosa di simile. Nota anche che questi gruppi per$DM_{gm}$sono isomorfi a quelli dei motivi di Chow; vedi Sosnilo, Vladimir, Teorema del cuore nella teoria K negativa per strutture di peso. Doc. Matematica. 24 (2019), 2137–2158.
Per quanto riguarda il confronto $DM_{gm}$ con $D^b(MM)$: prova a leggere (l'introduzione a?) Motivi Positselski, Leonid, Mixed Artin-Tate a coefficienti finiti. Mosc. Matematica. J. 11 (2011), n. 2, 317–402.