Quante parole con quattro lettere possono essere formate se ciascuna lettera può essere utilizzata al massimo $2$ volte?
Hai le cinque lettere $A, B, C, D$ e $E$. Quante parole con quattro lettere possono essere formate se ciascuna lettera può essere utilizzata al massimo$2$volte? (una lettera appare nella parola$0, 1$ o $2$ volte.)
Ho provato $5\cdot4\cdot3\cdot3$ e poi ha pensato che le posizioni possono essere disposte in $4\cdot3\cdot2\cdot1$. Tuttavia, questo dovrebbe essere diviso per$2$ perché $A~A~\_~\_$ e $A~A~\_~\_$sono gli stessi risultati. Ma la risposta che ho ricevuto non era corretta. La risposta corretta in base alla chiave è$540$.
Risposte
Con $5$ lettere, puoi fare $5^4$ parole di quattro lettere.
Ma tra queste parole,
- ci sono quelli con una lettera che viene ripetuta quattro volte (ci sono ovviamente $5$ tali parole);
- e ci sono le parole con una lettera ripetuta tre volte. Ci sono$5 \times 4 \times 4$ tali parole (in effetti devi scegliere la tripla lettera - $5$ possibilità, l'altra lettera - $4$ possibilità rimaste, e infine il posto dell'altra lettera - $4$ possibilità).
Quindi il numero totale di parole che vuoi contare è $$5^4 - 5 - 5\times 4 \times 4 = 540$$
Sono possibili tre casi.
1. Tutte le lettere sono distinte
Piace ($A, B, C, D$). Selezione$4$ lettere fuori $5$ e disponendoli dà $\displaystyle{5\choose 4}\cdot 4!=120$ modi.
2. Due distinti e due uguali
(Piace $A,B,C,C$). Selezione$3$ lettere fuori $5$ e di nuovo selezionandone uno da quelli $3$ lettere come la quarta lettera e disponendole: $\displaystyle{5\choose 3}\cdot{3\choose 1}\cdot\frac{4!}{2!}=360$ modi.
3. Solo due lettere distinte
(Piace $A,A,C,C$). Selezione$2$ lettere fuori $5$ lettere e organizzare dà $\displaystyle{5\choose 2}\cdot\frac{4!}{2!\cdot2!}=60$ modi.
Aggiungendo tutto questo ci danno $540$.