Quanti numeri pari a tre cifre hanno cifre distinte e non hanno cifre $5$?
Quanti numeri pari a tre cifre hanno cifre distinte e non hanno cifre $5$?
La risposta che ha dato il mio insegnante è stata $252$, ma non vedo come l'abbia ottenuto. Ho pensato che lo sarebbe stato$6\times 8 \times 5=240$ perché il $3\text{rd}$ la cifra deve essere pari $(0,2,4,6,8)$, il $2\text{nd}$ cifra non può essere $5$ o il $3\text{rd}$ cifra $(10-2=8$ opzioni) e la prima cifra non può essere $0$, $5$, il $2\text{nd}$ digit o il $3\text{rd}$ cifra ($10-4=6$opzioni). In ogni caso, l'ultima cifra deve essere pari e ci sono$5$ opzioni per le cifre pari, quindi la risposta finale deve terminare con a $5$ o a $0$, non un $2$. Per favore aiuto!
Risposte
No. che termina con una cifra diversa da zero = $4 .7.7=196$.
No. che termina con una cifra zero = $1 .8.7=56$
PS Il prodotto sopra è (opzioni della terza cifra) x (prima cifra) x (seconda cifra)
Ho trovato un modo diverso per farlo in realtà. Vedo che devi tenere conto di quando la terza cifra è zero e diversa da zero perché cambia i criteri per la prima cifra, ma l'ho considerata anche per la seconda cifra. Quello che ho fatto è stato dividerlo in tre casi:
L'ultima cifra è zero: $7 \times 8 \times 1=56$ (la seconda cifra non può essere $5$ o $0$ : la prima cifra non può essere $5$, la seconda o la terza cifra)
L'ultima cifra è diversa da zero e la seconda cifra è zero: $7 \times 1 \times 4=28$ (la prima cifra non può essere $5$, la seconda o la terza cifra)
La seconda e l'ultima cifra sono diverse da zero: $6 \times 7 \times 4=168$ (la seconda cifra non può essere $5, 0$o l'ultima cifra: la prima cifra non può essere $5,0$, la seconda o la terza cifra)
Principio di aggiunta:$56+28+168=252$
Dà la risposta giusta, ma questo ragionamento è valido?
Quindi, si chiede il numero di iniezioni $f:\{1,2,3\} \to \{0,1,2,3,4,6,7,8,9\}$ dove $f(1) \neq 0$ e $f(3) \in \{0,2,4,6,8\}$.
Ignorando le ultime due condizioni, si ottiene $_{9}P_{3}=504$ numeri possibili (possibilmente dispari e / o con uno zero iniziale).
Se si richiede che la prima cifra sia diversa da zero, è necessario sottrarre il numero di iniezioni $\{2,3\} \to \{1,2,3,4,6,7,8,9\}$ ottenere $504-{_{8}P_{2}}=504-56=448$.
I numeri dispari non sono ancora stati eliminati. Dobbiamo eliminare i casi in cui si trova l'ultima cifra$1, 3, 7,$ o $9$.
Supponiamo che le ultime due cifre ($f(2)$ e $f(3)$) siamo $0$ e $1$rispettivamente. Quindi, uno deve avere$f(1) \in \{2,3,4,6,7,8,9\}$, eliminando $7$ numeri dispari a cui ridurre il conteggio $441$.
Considerazioni simili si applicano quando la cifra centrale è ferma $0$, ma l'ultima cifra è adesso $3, 7,$ o $9$. Questo elimina$3 \cdot 7=21$ più numeri dispari, riducendo il conteggio a $420$.
Ora, passiamo al caso in cui la cifra centrale è diversa da zero. Correzione di un'ultima cifra$d \in \{1,3,7,9\}$, sarebbe quindi necessario sottrarre il numero di iniezioni $\{1,2\} \to \{1,2,3,4,6,7,8,9\} \setminus \{d\}$.
Supporre che $d=1$. Quindi, sottraendo il numero di iniezioni$\{1,2\} \to \{2,3,4,6,7,8,9\}$ dà $420-{_{7}P_{2}}=420-42=378$. Quarantadue numeri dispari con l'ultima cifra uguale a$1$ sono stati ora eliminati.
Considerazioni simili si applicano quando $d$ è $3,7,$ o $9$. Questo elimina$3 \cdot 42=126$ più numeri dispari, dando un conteggio finale di $252$.