Rapporti di polinomi e derivati ​​sotto un certo funzionale

Question

Permettere $p(x)$ essere un polinomio di grado $n>2$, con radici $x_1,x_2,\dots,x_n$(comprese le molteplicità). Permettere$m$essere un numero intero pari positivo. Definisci la seguente mappatura$$V_m(p)=\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^m.$$

DOMANDA. Per$\deg p(x)=n>2$ e $p'(x)$ il suo derivato, puoi esprimere $$\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$$ come una funzione di $m$ e $n$ solo?

Nota. Spinto dalle domande di Fedor, come vetrina l'ho appena calcolato (non dimostrato)$$\frac{V_2(p)}{V_2(p')}=\frac{n^2}{(n-1)(n-2)}.$$

Answer 1

Qui un codice SageMath che fornisce una funzione di V(m)calcolo$V_m(p)$ in termini di funzioni simmetriche elementari di $x_1,\dots,x_n$ (cioè coefficienti di $p$).

Ad esempio, se $p(x) = x^n - e_1 x^{n-1} + e_2 x^{n-2} + \dots$, poi $$V_2(p) = (n-1)e_1^2 - 2n e_2,$$ $$V_4(p) = (n-1) e_1^4 - 4n e_2 e_1^2 + (2n+12)e_2^2 + (4n-12) e_3 e_1 - 4n e_4,$$ e così via.

Da queste espressioni una prova per $m=2$segue immediatamente. Tuttavia, per più grandi$m$ il rapporto $\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$ non sembra essere una funzione di $n$, per cui ho testato computazionalmente $m$ fino a $20$.

Answer 2

Se questo fosse vero, $V_m(p)/V_m(p'')=(V_m(p)/V_m(p'))\times(V_m(p')/V_m(p''))$ inoltre dipenderebbe solo da $m$ e $n=\deg p$e così via, finché non otteniamo $V_m(p)/V_m(p^{(n-2)})$. Abbiamo$$V_m(p^{(n-2)})=V_m\left(\frac{n!}2x^2-(n-1)!\left(\sum x_i\right)x+(n-2)!\sum_{i<j} x_ix_j\right)=c_{nm}\left((n-1)\left(\sum x_i\right)^2-2n\sum_{i<j}x_ix_j\right)^{m/2}=\tilde{c}_{nm} V_2(p)^{m/2}.$$ Quindi, se questo fosse vero, lo avremmo fatto $V_m(p)=C_{nm} (V_2(p))^{m/2}$. Questo è già falso per$n=m=4$: se tutte le radici di $p$ sono 0 e 1, abbiamo $V_4=V_2$, ma $V_2^2/V_4=V_2$ non è fisso.