Rappresentazione matriciale dei gruppi di ordine nonabeliani $p^3$?

Question

Quando guardi i gruppi di ordine $p^3$ (per dispari $p$) ci sono $2$quelli nonabeliani. Uno è il gruppo di Heisenberg che può essere visto come un prodotto semidiretto di$C_p \times C_p$ e $C_p$.

Sulla base di alcuni calcoli con GAP vedo che l'altro è un prodotto semidiretto di $C_{p^2}$ con $C_p$.

Questo altro gruppo può essere visto come un gruppo di matrice familiare?

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gap> c := AllSmallGroups( 3^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 27 with 3 generators>, <pc group of size 27 with 3 generators> ]
gap> c[1];
<pc group of size 27 with 3 generators>
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C3 x C3) : C3"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C9 : C3"
gap> c := AllSmallGroups( 5^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 125 with 3 generators>, <pc group of size 125 with 3 generators> ]
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C5 x C5) : C5"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C25 : C5"

Answer 1

In una parola, "no". Notare che$\mathrm{GL}_n(q)$ per $q$ un potere di $p$ non può avere elementi di ordine $p^2$ salvo che $n>p$. Così come$p$ cresce la dimensione del gruppo matrice deve crescere.

È una storia simile su campi di caratteristica no $p$. Qualunque$1$-Le rappresentazioni dimensionali del gruppo hanno il centro nel kernel. Le uniche rappresentazioni fedeli hanno almeno una laurea$p$.

Quindi questo gruppo non ha una rappresentazione fedele di grado inferiore a $p$ su qualsiasi campo.

Modifica: non esiste una rappresentazione a matrice su alcun campo, ma è presente su un anello . Questo gruppo è dato da$$ \left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}\,\right|\, a,b\in \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z},\;a\equiv 1\bmod p\right\}.$$

L'ho scoperto guardando gli appunti di Keith Conrad proprio ora.