Relazione tra derivata del segnale e spettro di frequenza
Voglio campionare un segnale la cui derivata so essere delimitata da vincoli fisici. Il campionamento è disturbato dal rumore gaussiano, quindi ho bisogno di filtrare il campione con un filtro passa-basso.
Poiché conosco esattamente il limite sulla grandezza derivata, mi chiedevo se esiste un modo per tradurre questo limite in un limite di frequenza, al fine di determinare la frequenza di taglio del filtro.
La mia idea intuitiva è che le frequenze basse costituiscano la parte "liscia" del campione (cioè la parte con una derivata compatibile con il legato, il segnale), mentre le frequenze più alte sono responsabili delle variazioni improvvise del campione ( cioè la parte con pendenza che supera il limite, il rumore); quindi, penso che dovrebbe esserci una relazione tra la derivata e le componenti di frequenza del campione. Sto cercando qualcosa che formalizzi questo concetto. Grazie!
Risposte
Molto dipende da come vuoi formalizzare la tua domanda. Ecco un possibile approccio. Diciamo che il segnale può essere qualsiasi funzione attiva$\mathbb Z$con la derivata limitata da$1$e il rumore ha la deviazione standard$\sigma$e i suoi valori a diversi campioni sono indipendenti. Si applica un filtro lineare e si desidera ridurre al minimo l'aspettativa di$L^2$norma dell'errore per un lungo periodo di tempo nello scenario peggiore . Quale dovrebbe essere questo filtro?
Prendendo la trasformata di Fourier di ogni cosa, come al solito, vediamo che la questione si riduce a trovare una funzione$\varphi$sul cerchio con unità di misura che minimizza$\sigma^2\int|\varphi|^2+\sup_{a}\frac 1N\int{|1-\varphi|^2\left|\sum_{k=1}^N a_k z^k\right|^2}$dove$a_k$è una sequenza arbitraria di numeri reali con$|a_{k+1}-a_k|\le 1$e$a_0=a_{N+1}=0$($N$è la durata del segnale). Nota che qualsiasi somma di questo tipo è giusta$\frac{1}{1-z}\sum_{k=0}^N b_kz^k$dove$|b_k|\le 1$e$\sum_k b_k=0$. Questo ci porta al problema di trovare il supremo di$\frac 1N\int\psi^2\left|\sum_{k=1}^N b_k z^k\right|^2$per una data$\psi=\frac{1-\varphi}{|1-z|}$.
Questo supremo non è, ovviamente, maggiore di$\sup\psi^2$, ma non è nemmeno molto inferiore poiché se permettiamo coefficienti complessi invece di quelli reali, possiamo approssimare la misura delta in qualsiasi punto vogliamo. Quindi, se non ci preoccupiamo troppo di fattori come$2$, possiamo riformulare il nostro problema come segue:
Minimizzare$\sigma^2\int(1-M|1-z|)_+^2+M^2$. Se passiamo al caso continuo della linea (che fa una discreta approssimazione se si campiona abbastanza frequentemente, quindi in questa normalizzazione$\sigma\gg 1$) e assumiamo che la nostra trasformata di Fourier sia data da$\widehat f(\omega)=\int f(t)e^{-2\pi i \omega t}$(In modo che la$L^2$la norma è preservata, che corrisponde a$z=e^{2\pi i \omega}$), vediamo che dobbiamo minimizzare$\sigma^2\int(1-2\pi M|\omega|)_+^2+M^2=\frac{\sigma^2}{3\pi M}+M^2$, che risulta nel minimo a$M=\sqrt[3]{\frac{\sigma^2}{6\pi}}$. Pertanto, da questo punto di vista, dovrebbe passare il filtro ottimale$e^{2\pi i\omega t}$per$|\omega|\le \omega_0=\sqrt[3]{\frac{3}{4\pi^2\sigma^2}}$con declino lineare dell'amplificazione rispetto alla frequenza$0$(amplificazione$1$) alle frequenze$\pm\omega_0$(amplificazione$0$).
Ora sul ridimensionamento. Supponiamo di campionare a intervalli di tempo$\tau$, la tua derivata temporale è delimitata da$D$e la deviazione standard del rumore ad ogni campione è$\Sigma$. Quindi$\sigma=\frac{\Sigma}{D\tau}$e la risposta finale dovrebbe diventare$\Omega_0=\omega_0/\tau=\sqrt[3]{\frac{3 D^2}{4\pi^2 \Sigma^2\tau}}$.
Si noti ancora una volta che si tratta dell'ottimizzazione dello scenario peggiore con l'unica restrizione riguardante la derivata con l'obiettivo di minimizzare l'errore quadratico medio . Se hai più restrizioni sul tuo segnale (diciamo, un certo limite di ampiezza oltre al limite derivato), o desideri ottimizzare per un "segnale tipico" (che deve poi essere definito) e non ti interessa molto dei valori anomali, o preferisci un obiettivo diverso, la risposta potrebbe cambiare. Inoltre credo che la mia logica sia corretta ma sono notoriamente pessimo in algebra dopo mezzanotte, quindi controlla i numeri coinvolti prima di applicare la risposta finale.