Relazione tra somme che coinvolgono il reciproco dei numeri di Fibonacci

Question

Mi viene chiesto di dimostrare che se$x_n$denota la sequenza di Fibonacci e$$s = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{x_{2n-1}^2}\text{, } s' = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}n}{x_{2n}}$$poi$s/s' = \sqrt{5}$. Non credo esista un'espressione chiusa per ognuna di queste somme, ma fatico a capire questa relazione, che usando la formula di Binet si riduce a dimostrare che:$$\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\frac{\phi^{2n-1}}{1+(\phi^2)^{2n-1}}\right]^{2} =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}n\cdot\phi^{2n}}{(\phi^2)^{2n}-1}$$Qualche suggerimento?

Answer 1

Suggerimento: puoi semplificare la prima somma usando$$\frac{1}{1+x}=\sum_{k=0}^\infty (-x)^k,$$Se$|x|<1$(prova a fare il denominatore$1+(\phi^2)^{-(2n-1)}$invece). Quando espandi tutto questo, dovresti ottenere termini simili a quelli che ottieni quando fai qualcosa di simile con la seconda somma.