Restrizione di una copertura ramificata al suo luogo di ramificazione
Supponiamo di avere una superficie liscia, compatta, complessa$X$, e un divisore liscio e irriducibile$B \subset X$. Permettere$G$essere un gruppo finito. Per ogni epimorfismo di gruppo$$\varphi \colon \pi_1(X-B) \to G,$$per il teorema di estensione di Grauert-Remmert esiste una superficie liscia e complessa$Y$e una copertina di Galois$$f \colon Y \to X,$$con il gruppo di Galois$G$e ramificato al massimo oltre$B$.
Da$B$è liscio, impostazione$R =f^{-1}(B) \subset Y$vediamo che la restrizione$$f|_R \colon R \to B$$è una copertina di Galois non ramificata, con il gruppo Galois$H=G/G_R$, dove$G_R$è lo stabilizzatore della curva$R$. Una tale copertura di Galois deve a sua volta corrispondere a un omomorfismo di gruppo$$\psi \colon \pi_1(B) \to H,$$che è suriettiva se e solo se$R$è irriducibile.
Domanda. Come possiamo recuperare, in modo puramente algebrico, la mappa$\psi$da$\varphi$e dagli omomorfismi (indotti dalle mappe di inclusione)$$i_* \colon \pi_1(X-B) \to \pi_1(X), \quad j_* \colon \pi_1(B) \to \pi_1(X)?$$
Qui "in modo puramente algebrico" significa (ad esempio) che, se ho implementato i tre omomorfismi$\varphi \colon \pi_1(X-B) \to G$,$i_*$e$j_*$in un software come GAP4 dovrebbe esserci, almeno in linea di principio, una sequenza finita di comandi che forniscono$\psi \colon \pi_1(B) \to H$.
Mi aspetto che questo sia possibile, da allora$\varphi$determina completamente$f \colon Y \to X$, e quindi determina completamente la restrizione$f|_R \colon R \to B$.
Risposte
È utile riformulare la questione nella sua naturale impostazione di topologia differenziale, prescindendo da considerazioni geometriche non necessarie. È anche naturale considerare l'analogo del problema in tutte le dimensioni.
Supponiamo quindi che ci venga dato un oggetto chiuso, orientabile, connesso, liscio$n$-collettore$X$, e una chiusa, orientabile, connessa, liscia, codimensione-$2$sottovarietà$B \subset X$. Adottiamo la notazione di base utilizzata nella domanda. Permettere$G$essere un gruppo finito. Per ogni epimorfismo di gruppo$$\varphi \colon \pi_1(X-B) \to G$$c'è un chiuso, orientabile, connesso, liscio$n$-collettore$Y$e una mappa di copertura ramificata di Galois (o ``regolare'').$$f \colon Y \to X,$$con gruppo di trasformazione del ponte$G$che è ramificato al massimo sopra$B$.
Da$B$è liscio, impostazione$R =f^{-1}(B) \subset Y$vediamo che la restrizione$$f|_R \colon R \to B$$è una copertina non ramificata. La domanda cerca una descrizione esplicita di questa mappa di copertura.
Tra i problemi che sorgono quando si cerca di fornire una descrizione così esplicita c'è quello$R$non ha bisogno di essere collegato, quello$f|_R:R \to B$non deve essere una copertura Galois, e così via$B$e$X-B$non può avere lo stesso punto base.
Il dato aggiuntivo necessario per chiarire le cose è il fascio normale dell'insieme di diramazioni e il suo confine, un fascio circolare sopra$B$. Con questa informazione in più si può rispondere efficacemente alla domanda. Lo faremo da questo punto di vista
- Caratterizza quando$R$è connesso;
- Caratterizza quando$f$è in realtà ramificato;
- Caratterizza quando$R \to B$è Galois;
- Mostralo su ogni componente di$R$la restrizione della copertura ramificata è infatti sempre una copertura di Galois, con gruppo di Galois esplicito.
Permettere$N$denotare un piccolo quartiere tubolare di$B$in$X$, che ha la struttura di a$2$-pacchetto di dischi finito$B$. Permettere$D$denotare una fibra a 2 dischi, con confine$C = D \cap \partial N$, un cerchio di collegamento a$B$. Quindi$\partial N$è un fascio di cerchio finito$B$, con fibra tipica$C$.
Questo fascio circolare è determinato dalla sua classe di Eulero in$H^2(B;\mathbb{Z})$e determina una sequenza esatta di gruppi di omotopia (in cui sopprimiamo la menzione dei punti base richiesti)$$ 1 \to \pi_2(\partial N) \to \pi_2(B) \to \pi_1(C) \to \pi_1(\partial N) \to \pi_1(B)\to 1. $$L'immagine di$\pi_1(C)$in$\pi_1(\partial N)$si trova al centro a causa della nostra ipotesi di orientabilità. L'unico caso nel range dimensionale$n\leq 4$Quello$\pi_2(B)\neq 1$è quando$n=4$e$B=S^2$. In tutti gli altri casi a bassa dimensione si riduce a un'estensione centrale di$\pi_1(B)$di$\mathbb{Z}$.
In generale l'affermazione che$R$è connesso equivale a richiederlo$f^{-1}(\partial N)$essere connesso. E questo si traduce nell'omomorfismo$$ \varphi j_*:\pi_1(\partial N) \to G $$essere suriettivo, dove$j:\partial N \to X-B$è l'inclusione.
La condizione in cui si verifica la ramificazione effettiva si traduce nella condizione che l'omomorfismo$$ \varphi i_*:\pi_1(C) \to G $$non è banale, dove$i:C \to X-B$è l'inclusione.
In generale l'immagine di$\varphi j_*:\pi_1(\partial N)\to G$fornisce il gruppo di trasformazioni del mazzo su uno qualsiasi dei componenti del percorso della pre-immagine del fascio circolare$\partial N$in$Y$. Ne consegue che per ogni componente$R_k$della pre-immagine del set di rami, la proiezione$R_k\to B$è un rivestimento di Galois con un gruppo di trasformazioni del mazzo isomorfo a$$ \varphi j_*(\pi_1(\partial N))/ \varphi i_*(\pi_1(C)). $$
I componenti di$R$sono permutati transitivamente dall'azione di$G$Su$Y$. La copertura completa della ramificazione$R\to B$è la mappa quoziente per l'azione di$G$limitato a$R$. Il rivestimento$R\to B$sarà Galois se e solo se l'immagine$\varphi i_*(\pi_1(C))$è un normale sottogruppo di$G$, nel qual caso il gruppo della copertura è$G/ \varphi i_*(\pi_1(C))$.
Si noti, a proposito, che poiché l'immagine di$\pi_1(C)$è centrale in$\pi_1(\partial N)$, ne consegue che se c'è una ramificazione non banale e$G$ha un centro banale, la pre-immagine del set di diramazione non può essere collegata.
Ecco una versione algebrica della risposta di Allan Edmonds che integra il mio post originale (vedi sotto).
Permettere$\eta\in B$essere il punto generico, e lasciare$A$essere l'anello locale completo di$\eta\in X$, Così$A$è un anello di valutazione discreto completo; permettere$\mathfrak{m}$sia il suo ideale massimale,$k = A/\mathfrak{m}$il suo campo residuo (cioè, il campo funzione di$B$), e$K$sia il suo campo frazione. Da$R\rightarrow B$è etale e$B$è liscio irriducibile,$R$è anche liscia, quindi le sue componenti connesse o irriducibili sono in biiezione con i suoi punti generici. Permettere$\epsilon\in R$essere un punto generico con punto geometrico associato$\overline{\epsilon}$, e lascia$R_1\subset R$essere il componente corrispondente. Permettere$L$essere il campo frazione dell'anello locale completo a$\epsilon$, poi$Gal(L/K) = G_\epsilon := Stab_G(\epsilon)$e il gruppo di inerzia di$L/K$è$G_{\overline{\epsilon}} := Stab_G(\overline{\epsilon})$. Ne consegue che il$R_1/B$è Galois con il gruppo di Galois$G_\epsilon/G_{\overline{\epsilon}}$, che concorda con il mio post originale (sotto).
Con il teorema della struttura di Cohen, possiamo identificare$K = k((t))$. L'analogo della sequenza esatta dell'omotopia di Allan Edmonds è quindi la breve sequenza esatta dei gruppi fondamentali etale
$$1\longrightarrow \pi_1(\text{Spec }\overline{k}((t)))\longrightarrow \pi_1(\text{Spec }k((t)))\longrightarrow\pi_1(\text{Spec }k)\longrightarrow 1$$(i punti base sono dati da$\overline{k((t))}$), e da allora$k$contiene tutte le radici dell'unità, questa è un'estensione centrale (che concorda con l'osservazione di Allan Edmond).
L'analogo delle mappe di Allan "$i_*$" e "$j_*$" può essere dato come segue: Let$K' = \overline{k}((t))$, quindi abbiamo le mappe
$$\text{Spec }K'\longrightarrow \text{Spec }K\longrightarrow X - B$$La mappa indotta$\pi_1(\text{Spec }K')\rightarrow \pi_1(X-B)$(con punto base il punto geometrico dato da$\overline{k((t))}$) è l'analogo di Allan "$i_*$", e la mappa$\pi_1(\text{Spec }K)\rightarrow \pi_1(X-B)$è l'analogo di Allan "$j_*$", e se$\varphi : \pi_1(X-B)\rightarrow G$denota la rappresentazione della monodromia, poi di nuovo abbiamo che ogni componente di$R$Galois è finito$B$con il gruppo di Galois$$\varphi j_*\pi_1(\text{Spec }K)/\varphi i_*\pi_1(\text{Spec }K')$$In particolare il gruppo di Galois di ciascun componente di$R$è un sottogruppo del quoziente che accentra un gruppo di inerzia rispetto a quel gruppo di inerzia.
INIZIO POST ORIGINALE:
Questa non è una risposta ma è troppo lunga per essere un commento. Si possono ottenere alcune restrizioni sulla struttura di$R\rightarrow B$come segue:
In termini di corrispondenza di Galois, se$\pi := \pi_1(B)$,$r\in R$un punto, e$F$la fibra di$R/B$contenente$r\in R$, poi$F$è in biiezione con$G/G_r$e hai azioni di pendolarismo di$\pi$e$G$Su$F$. L'immagine di$\pi$in$Sym(F)$atterra così nel centralizzatore del$G$-azione. Inoltre, dal momento che il$G$-azione commuta con il$\pi$-azione,$G$agisce (transitivamente) sul$\pi$-orbita di$F$, e inoltre se$G_{\pi\cdot r}$denota il sottogruppo di$G$preservando l'orbita$\pi\cdot r$, poi$G_{\pi\cdot r}$agisce transitivamente su$\pi\cdot r$, e poiché fa il pendolare anche con il$\pi$-azione,$G_r$agisce banalmente su$\pi\cdot r$. così$G_r$è normale dentro$G_{\pi\cdot r}$, e le componenti connesse di$R$sono tutti isomorfi, ogni componente essendo Galois over$B$con il gruppo di Galois$G_{\pi\cdot r}/G_r$, che è naturalmente un sottogruppo di$N_G(G_r)/G_r$dove$N_G(G_r)$è il normalizzatore di$G_r$in$G$.
In particolare ad es$G$è semplice e$G \ne G_r$poi$R$non può essere collegato, quindi ad es$B$non può essere ampio (dai commenti di Remy).
Sarei anche molto interessato se si potesse dire di più su questo.