Richiesta di riferimento: una generalizzazione multidimensionale del teorema fondamentale del calcolo
$\newcommand\R{\mathbb R}$Permettere $f\colon\R^p\to\R$essere una funzione continua. Per$u=(u_1,\dots,u_p)$ e $v=(v_1,\dots,v_p)$ nel $\R^p$, permettere $[u,v]:=\prod_{r=1}^p[u_r,v_r]$; $u\wedge v:=\big(\min(u_1,v_1),\dots,\min(u_p,v_p)\big)$; $u\vee v:=\big(\max(u_1,v_1),\dots,\max(u_p,v_p)\big)$; $$\int_u^v dx\, f(x):= (-1)^{\sum_{r=1}^p\,1(u_r>v_r) }\int_{[u\wedge v,u\vee v]}dx\,f(x).$$ Permettere $F\colon\R^p\to\R$ essere un antiderivativo di $f$, nel senso che $$D_1\cdots D_p F=f,$$ dove $D_j$ è l'operatore della differenziazione parziale rispetto al $j$esimo argomento; si presume che il risultato di questa differenziazione parziale ripetuta non dipenda dall'ordine degli argomenti rispetto ai quali vengono prese le derivate parziali. Permettere$[p]:=\{1,\dots,p\}$. Per ogni set$J\subseteq[p]$, permettere $|J|$ denotano la cardinalità di $J$.
Allora non è difficile stabilire la seguente generalizzazione multidimensionale del teorema fondamentale del calcolo ( Lemma 5.1 ): \ begin {equation} \ int_u ^ v dx \, f (x) = \ sum_ {J \ subseteq [p]} ( -1) ^ {p- | J |} F (v_J), \ end {equation} dove$v_J:=\big(v_1\,1(1\in J)+u_1\,1(1\notin J),\dots,v_p\,1(p\in J)+u_p\,1(p\notin J)\big)$.
Qualcuno ha visto questa o una dichiarazione simile altrove? (Chiedo solo riferimenti, non prove.)
Risposte
Per un fatto elementare come questo, che potrebbe essere stato reinventato mille volte, è difficile trovare il primo foglio in cui questo è apparso. Tuttavia, consentitemi di fornire un contesto mancante. Esiste un'intera industria nella teoria quantistica costruttiva dei campi e nella meccanica statistica sulle relative formule di interpolazione "intelligenti" o formule di Taylor con resti integrali. Questi vengono utilizzati per eseguire le cosiddette espansioni di cluster . Per l'identità del PO, non c'è perdita di generalità nella presa$u=(0,0,\ldots,0)$ e $v=(1,1,\ldots,1)$. In questo caso, tramite inversione di Möbius nel reticolo booleano , la formula deriva dalla seguente identità.
Permettere $L$essere un insieme finito. Permettere$f:\mathbb{R}^L\rightarrow \mathbb{R}$, $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}\mapsto f(\mathbf{x})$ essere una funzione sufficientemente regolare, e lascia $\mathbf{1}=(1,\ldots,1)\in\mathbb{R}^L$, poi $$ f(\mathbf{1})=\sum_{A\subseteq L}\int_{[0,1]^A}d\mathbf{h} \left[\left(\prod_{\ell\in A}\frac{\partial}{\partial x_{\ell}}\right)f\right](\psi_A(\mathbf{h})) $$ dove $\psi_A(\mathbf{h})$ è l'elemento $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}$ di $\mathbb{R}^L$ definito dall'elemento $\mathbf{h}=(h_{\ell})_{\ell\in A}$ nel $[0,1]^A$ dalla regola: $x_{\ell}=0$ Se $\ell\notin A$ e $x_{\ell}=h_{\ell}$ Se $\ell\in A$. Ovviamente è necessario 1) applicare questo a tutti$L$che sono sottoinsiemi di $[p]$, 2) usa l'inversione di Möbius nel reticolo booleano e 3) specializza in $L=[p]$, e questo fornisce l'identità dell'OP.
La formula di cui sopra è la più ingenua del suo genere usata per fare un'espansione a grappolo "coppia di cubi". Vedi formula III.1 nell'articolo
A. Abdesselam e V. Rivasseau, "Alberi, foreste e giungle: un giardino botanico per espansioni a grappolo" .
È anche spiegato a parole a pagina 115 del libro
V. Rivasseau, "Dal perturbativo alla rinormalizzazione costruttiva" .
Ora la formula è un caso particolare di una molto più potente, vale a dire, Lemma 1 in
A. Abdesselam e V. Rivasseau, " Un'espansione esplicita di cluster multiscala grande contro piccolo campo" ,
dove si sommano le sequenze "consentite" $(\ell_1,\ldots,\ell_k)$ di lunghezza arbitraria di elementi di $L$, invece di sottoinsiemi di $L$. La nozione di permesso si basa su una regola di arresto arbitraria. L'identità di cui sopra corrisponde a "consentito"$=$"senza ripetizioni", ovvero la regola di arresto che non si dovrebbe virare su un $\ell$alla fine di una sequenza in cui è già apparso. Giocando con questo tipo di scelta della regola di arresto si può usare il Lemma 1 del mio articolo con Rivasseau, per provare la formula Hermite-Genocchi, la formula anisotropica di Taylor di Hairer nell'Appendice A di "Una teoria delle strutture di regolarità" e molte altre cose . quando$f$ è l'esponenziale di una forma lineare per esempio, si possono ottenere varie identità algebriche come nei post MO
identità di funzione razionale
Identità che coinvolge la somma sulle permutazioni
Ho dimenticato di menzionare che si può usare il Lemma 1 per derivare la formula di Taylor dal calcolo 1. Questo corrisponde a $L$ avere un elemento e definire le sequenze consentite come quelle di lunghezza al massimo $n$. Vedere
https://math.stackexchange.com/questions/3753212/is-there-any-geometrical-intuition-for-the-factorials-in-taylor-expansions/3753600#3753600
Il $p=2$Il caso dimensionale è un esercizio del libro di testo di Rogawski. È l'esercizio 47 a pagina 885, sezione 15.1 (Integrazione in più variabili) nell'edizione dei primi trascendenti del 2008.