Ricostruzioni di gruppi dalla categoria di $G-\mathbf{Sets}$; Costruzione di un omomorfismo di gruppo [duplicato]
Cerco di fornire una prova della seguente affermazione, ma la trovo un po 'difficile. Spero di poter ottenere aiuto da qualcuno su questo sito. Penso che questo sia ciò di cui danno una prova, su Ncatlab - Tannakian Duality (nella sezione$G-\mathbf{Sets}$). Ma non posso davvero seguire quella prova:https://ncatlab.org/nlab/show/Tannaka+duality#ForPermutationRepresentations.
Dichiarazione. Permettere$F:G-\mathbf{Sets}\to\mathbf{Sets}$ sii il funtore smemorato, dove $G-\mathbf{Sets}$ è la categoria dei set dotati di un'azione di gruppo da parte del gruppo $G$. Sto cercando di capire la prova del fatto seguente$$\operatorname{Aut}(F)\cong G.$$
Cosa ho fatto
Sono riuscito a costruire una mappa $$\varphi:G\to\operatorname{Aut}(F)$$ Ciò è stato fatto dalla seguente regola $\varphi(g)=\eta^g$, dove $\eta_S^g:S\to S$ è definito da $\eta_S^g(s)=s\cdot g$. È semplice verificare che questo dia una trasformazione naturale da$F$ per $F$ e che è anche un omomorfismo di gruppo.
Tuttavia , l'altro modo è più problematico per me. Voglio trovare una mappa$$\psi:\operatorname{Aut}(F)\to G.$$ Cioè, data una trasformazione naturale $\eta$, Voglio assegnarlo a un elemento del gruppo $g\in G$.
La trasformazione naturale $\eta$ è definito dal seguente diagramma commutativo $\require{AMScd}$ $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} F(X) & \ra{\eta_X} & F(X) \\ \da{F(f)} & & \da{F(f)} \\ F(Y) & \ra{\eta_Y} & F(Y) & \\ \end{array} $$ dove $\eta_X$ è un morfismo in $\mathbf{Sets}$ e $f:X \to Y$ è un morfismo nella categoria $G-\mathbf{Sets}$. Da$F$ è solo il funtore smemorato, il diagramma sopra si riduce a $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} X & \ra{\eta_X} & X \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$
Preoccupazioni e domande
Nella definizione di trasformazione naturale - ho quello - dato qualsiasi $G-\text{Set}$ $X$, $\eta_X:F(X)\to F(X)$è un morfismo. Un naturale$G-\text{Set}$ è semplicemente prendere $X=G$ e di lasciarlo agire su se stesso attraverso la struttura del gruppo: $$\varphi: G\times G\to G \\ (g,s)\mapsto g\cdot s.$$ Quindi il diagramma commutativo ora diventa $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} G & \ra{\eta_G} & G \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$
Nota 1. Ricordo che un professore mi disse che il morfismo$\eta_G$ è totalmente compreso da ciò che fa all'elemento identità $e\in G$ (da cui dovrei riuscire a capire come costruire l'omomorfismo di gruppo), $$e\mapsto \eta_G(e).$$
Non capisco davvero cosa significhi quanto sopra. Penso di aver frainteso qualcosa sul funtore smemorato. Quando penso al funtore smemorato$F:A\to B$, Penso che il funtore dimentichi tutto ciò che è presente in $A$, ma non è presente in $B$. Nel nostro caso, dimentica la struttura delle azioni di gruppo. E quindi, in particolare, non posso utilizzare la proprietà di essere a$G$-Mappa equivariante. Solo le proprietà di essere una mappa teorica degli insiemi.
Domanda 1.
Se $\eta_G(e)=s$e se volessi dare un senso a ciò che mi ha detto il professore, penso che ragionerei come segue $$\eta_G(g)=\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)=s\eta_G(g).$$dove io nella seconda uguaglianza usavo la proprietà di essere un omomorfismo di gruppo. Ma d'altra parte, se voglio trattarlo come un omomorfismo di gruppo, penso che dovevo farlo per cominciare. Questo è,$\eta_G$deve mappare le identità alle identità (per essere coerente nel mio ragionamento). Quindi penso che il mio argomento fallisca.
La mia domanda è: cosa significa?
Non penso che quello che ho fatto sopra abbia senso. Ma penso di aver visto altri usare le proprietà dei morfismi nella categoria$A$, dopo aver applicato il funtore smemorato, da qui il mio ragionamento. Ancora una volta, non sono veramente sicuro di quello che sto facendo. Quindi potrei benissimo sbagliarmi.
Domanda 2. In che modo questo mi dice dove mappare una trasformazione naturale?
Dato un $\eta\in\operatorname{Aut}(F)$, dove lo mappo? Lo mappo come segue$$\eta\mapsto \eta_G(e)?$$ In questo modo, so di aver detto in modo esauriente dove mappare ogni trasformazione naturale?
Domanda 3. Credo di dover anche, in qualche modo, utilizzare il diagramma commutativo nella definizione della trasformazione naturale quando costruisco l'omomorfismo di gruppo, cosa che non ho fatto? Immagino che il mio suggerimento sopra non sia il modo corretto per farlo. Hai qualche idea su come costruire la mappa?
Sarei davvero felice di poter avere l'aiuto di qualcuno su questo sito per capirlo meglio. Perché sono davvero perso e confuso.
Auguri,
Joel
Risposte
Userò sinistra $G$-set, non giusto.
Domanda 1 e 3 .
Non puoi scrivere $\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)$, non stiamo assumendo $\eta_G:G\to G$ è un omomorfismo di gruppo, solo che è un morfismo di $G$-imposta. Puoi farlo dire$\eta_G(g\cdot e)=g\cdot\eta_G(e)$ sebbene (di cui invertiresti l'ordine se insisti sulle giuste azioni di gruppo).
Considera di nuovo il tuo diagramma commutativo:
$$\require{AMScd} \begin{CD} G @>{\eta_G}>> G \\ @VVV @VVV \\ Y @>{\eta_Y}>> Y \end{CD}$$
Qui possiamo lasciare la mappa $G\to Y$ essere la valutazione$y$ carta geografica $g\mapsto gy$ dove $y\in Y$ è fisso (si noti che la mappa di valutazione è utile anche per stabilire il teorema dello stabilizzatore dell'orbita - le sue fibre sono cosette di $y$stabilizzatore di). Quindi inseguiamo il diagramma partendo da$e\in G$ in alto a sinistra.
Se seguiamo il percorso in alto a destra, otteniamo $e\mapsto \eta_G(e)\mapsto \eta_G(e)y$. Nel percorso in basso a sinistra,$e\mapsto y\mapsto \eta_Y(y)$. Quindi possiamo equiparare$\eta_Y(g):=\eta_G(e)y$. Cioè, ogni automorfismo$\eta$ applicato a un $G$-impostato $Y$ sta solo applicando un particolare elemento del gruppo $\eta_G(e)\in G$.
Domanda 3 .
Sì, $\eta\mapsto \eta_G(e)$. Questo vale per tutti$\eta\in\mathrm{Aut}\,F$.