riguardo a un limite: è richiesta una spiegazione esplicita

Aug 17 2020

Abbiamo, $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}} = \frac{1}{p+1} \forall p\in \mathbb{N}$$

E va bene, ma non ne sono del tutto sicuro $p\in \mathbb{R}$, la mia domanda è: è vero per $p\in \mathbb{R}$?

Ho provato a calcolare il valore di questo limite in Symbolab Online Calculator, mettendo $p =some$ $fraction$ $number$, ma si vede $0$come risposta. Lo screenshot di questo caso è allegato alla presente.

E

Qualcuno può fornirmi l'approccio o anche solo un suggerimento per provare o confutare la cifra di cui sopra?

Grazie in anticipo!

Risposte

1 Bernard Aug 17 2020 at 21:46

È vero per tutti $p> -1$. In realtà è una somma di Riemann:$$\frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}}=\frac1n\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{p}}{n^p}$$ per la funzione $f(x)=x^p$, con limiti $0$ e $1$, quindi converge a $$\int_0^1\!\! x^p\,\mathrm dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}\Biggr\vert_0^1=\frac 1{p+1}.$$

1 user Aug 17 2020 at 21:39

SUGGERIMENTO

Usiamo Stoltz-Cesaro per ottenere

$$\frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^{p}-\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}=\frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}$$