Risolvere la ricorsione per analogia con un'equazione differenziale

Question

Mi sono imbattuto in questo problema:

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Lasciamo sequenza $u_n$ essere definito dal suo primo termine $u_0 > 0$ e $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$$ Trova una formula asintotica per $u_n$.

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Ho pensato che avremmo potuto risolverlo per analogia con l'equazione $$f' = \frac{1}{f}$$ che dà la formula asintotica $u_n \sim \sqrt{2 n}$, e questa è davvero la risposta giusta.

Più in generale, prendiamo $u_0 > 0, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + f(u_n)$, quali sarebbero le condizioni per una funzione continua, positiva e decrescente $f$ tale che il metodo di analogia con un'equazione differenziale dà la giusta formula asintotica?

Molte grazie !

Answer 1

Come notato nel commento qui sotto, questa risposta non è corretta

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Supporre che $y$ è una soluzione all'equazione differenziale $y' = f(y)$, e $u_n$ risolve la ricorrenza $u_{n+1} = u_n + f(u_n)$ con $u_0 = y(0)$. Con il teorema del valore medio, lo troviamo per tutti$n$, esiste un file $c \in [n,n+1]$ per cui $y(n+1) - y(n) = y'(c).$ Perché $f$ sta diminuendo, abbiamo $$ f(y(n)) = y'(n) \geq y(n+1) - y(n) \geq y'(n+1) = f(y(n+1)). $$ Ora, supponi quello $w_n$ soddisfa $w_{n+1} = w_n + f(w_n)$, e $w_0 = y(1)$. Lo troviamo induttivamente$u_n \leq y(n) \leq w_n$. In particolare, abbiamo che se la disuguaglianza vale per$n = k$, poi $$ \begin{align} w_{k+1} &= w_k + f(w_k) \geq y(k) + f(w_k) \geq y(k) + f(y(k)) \\ & \geq y(k) + [y(k+1) - y(k)] = y(k+1), \end{align} $$ e la disuguaglianza $y(k+1) \geq u_{k+1}$ può essere visto in modo simile.

Con ciò, possiamo concludere quanto segue: if $f$ è tale che la ricorrenza $u_{n+1} = f(u_n) + u_n$ ha gli stessi asintotici per tutti $u_0 > 0$, quindi ne consegue che gli asintotici della sequenza $(y(n))_{n \in \Bbb N}$ generato da una soluzione a $y' = f(y)$ con $y(0) > 0$ sono gli stessi.