Risolvere$x^3-3x^2+4x-12=0$Senza Factoring (Metodo di Cardano)
La domanda: risolvere$$x^3-3x^2+4x-12=0$$senza utilizzare il factoring (metodo di Cardano?)
Quindi devo prima deprimere l'equazione quindi faccio la sostituzione$x=z+1$. Sappiamo che questa è la sostituzione perché dovrebbe essere della forma$z-\frac{a_2}{3a_3}=z-\frac{-3}{3(1)}=z+1$. Questo poi ci dà
$$z^3+z-10=0$$
Con il metodo di cardano, lo sappiamo$p=1$e$q=-10$. Quindi abbiamo quello
$$1=-3ab \qquad -10=-a^3-b^3$$
Risolvere questo sistema dà (credo) per$a$dà
$$a=\sqrt[3]{5\pm\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
$$b=\sqrt[3]{5\mp\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
e così
$$z=a+b=\sqrt[3]{5\pm\frac{26\sqrt{3}}{9}}+\sqrt[3]{5\mp\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
Ho provato a ridurlo nel miglior modo possibile, ma non riesco a ottenere nessuna delle soluzioni.
Se dovessi fattorizzare l'equazione originale, dovrei ottenere g
$$x^3-3x^2+4x-12=x^2(x-3)+4(x-3)=(x^2+4)(x-3) \Rightarrow x=3, \pm2i$$
Quindi dove sto commettendo il mio errore?
Risposte
I tuoi calcoli sono corretti, ma è necessario completare il metodo di Cardano. Una volta calcolato$a$e$b$, le radici della cubica depressa sono le seguenti:
$$ \displaystyle z_{1}=a+b \\ {\displaystyle z_{2}=a\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+b\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} \\ {\displaystyle z_{3}=a\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+b\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} $$
Dal momento che nel tuo caso$a=1+2/\sqrt{3}$e$b=1-2/\sqrt{3}$(vedi sotto per la procedura di denesting per ottenere questi valori), le formule danno
$$z_1=2 \\ z_2=-1+2 i \\ z_3=-1-2 i$$
Come$x=z+1$, hai
$$x_1=3 \\ x_2=2 i \\ x_3=-2 i$$
EDIT: come correttamente affermato nei commenti, un problema chiave nell'applicazione del metodo di Cardano è che, in alcuni casi, è necessario denistare alcune radici cubiche. Questo a volte può essere abbastanza difficile. Alcuni metodi sono stati precedentemente segnalati nei collegamenti forniti in uno dei commenti. Suggerirei un possibile approccio che a volte funziona bene per il radicando della forma$J+K\sqrt{n}$. I metodi includono questi passaggi:
impostare la radice cubica nella forma$\sqrt[3]{J\pm K\sqrt{n}}$, insieme a$J$e$K$numeri interi;
supponiamo che il radicando$A=J\pm K\sqrt{n}$può essere espresso come$(j\pm k\sqrt{n})^3$, insieme a$j$e$k$numeri razionali;
dopo l'espansione$(j\pm k\sqrt{n})^3$e dividendo i suoi termini in due gruppi le cui somme sono uguali a$J$e$K\sqrt{n}$, utilizzare le equazioni risultanti per determinare$j/k$. Questo è il passaggio più lungo, poiché richiede di cercare le radici razionali di una nuova equazione cubica usando il teorema della radice razionale, che a volte può essere complicato;
infine, determinare i valori di$j$e$k$.
Per illustrare meglio questo metodo, proviamolo per il caso specifico$\sqrt[3]{5+ \frac{26\sqrt{3}}{9}}$(lo stesso metodo può essere utilizzato per il caso in cui il radicando è$5-\frac{26\sqrt{3}}{9}$). In primo luogo, dobbiamo impostare il radicando in modo che$J$e$K$sono numeri interi:
$$\sqrt[3]{5 + \frac{26\sqrt{3}}{9}}=\frac{1}{3} \sqrt[3]{135+ 78\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \sqrt[3]{A} $$
Ora facciamo ipotesi$A=(j+k\sqrt{3})^3$. Perciò
$$A= j^3+3\sqrt{3}j^2k+ 9jk^2+3\sqrt{3}k^3\\ =j(j^2+9k^2)+3k(j^2+k^2)\sqrt{3}$$
in modo che possiamo scrivere
$$j(j^2+9k^2)=135\\ 3k(j^2+k^2)=78$$
Notare che$j$e$k$devono essere entrambi positivi. Dalle due equazioni di cui sopra abbiamo
$$78\cdot j(j^2+9k^2) =135\cdot 3k(j^2+k^2)$$
Dobbiamo ora cercare di determinare$j/k$. Dividendo entrambi i membri a$k^3$e spostando tutti i termini nella LHS, abbiamo
$$78\left(\frac{j}{k}\right)^3 - 405 \left(\frac{j}{k}\right)^2 + 702\left(\frac{j}{k}\right) - 405=0 $$
Ambientazione$x=j/k$e semplificando i coefficienti, otteniamo
$$26 x^3-135 x^2+234x-135=0$$
Usando il teorema della radice razionale, possiamo cercare una radice razionale$p/q$per l'ultima equazione, dove il numero intero$p$divide$135=3^3\cdot 5$e il numero intero$q$divide$26=2\cdot 13$. Per velocizzare la ricerca di una radice reale, si può osservare che per$x=1$e$x=2$l'LHS dà$-10$e$1$, rispettivamente, in modo che il valore di una radice reale debba essere compreso tra$1$e$2$. Dopo poche prove, otteniamo facilmente$x=3/2$. L'equazione può quindi essere riscritta come
$$\left(x-\frac 32\right)\left( 26x^2-96x+90\right)=0$$
da cui otteniamo direttamente che le altre due radici non sono reali.
Da$x=j/k=3/2$, possiamo finalmente determinare$j$e$k$effettuando la sostituzione$k=2j/3$nelle equazioni iniziali. Ad esempio, sostituendo nell'equazione$(j^2+9k^2)=135$, noi abbiamo
$$j\left[j^2+9\left(\frac{2j}{3}\right)^2\right]=135$$ $$5j^3=135$$
e ricordandolo$j$e$k$sono positivi,
$$j=3$$
$$k=2$$
Possiamo ora concludere che
$$A=(3+2\sqrt{3})^3$$
in modo che la radice cubica iniziale sia
$$\sqrt[3]{5 + \frac{26\sqrt{3}}{9}}=\frac 13 \sqrt[3]{A}= \frac 13 \left(3+2\sqrt{3}\right)\\=1+\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Ancora una volta, va sottolineato che questo metodo funziona solo in alcuni casi (anche quando il razionale$j$e$k$esistono, il passo limitante più importante è la ricerca della radice razionale$x$, che come già detto può essere molto difficile).
A parte la sostituzione all'indietro$x=z+1$per completare il processo di soluzione, non ti sbagli. Il casus irriducibilis è comunemente descritto per le equazioni cubiche con tre radici reali, ma un problema simile si verifica quando si ha una radice razionale (e in questo caso non è necessario che siano tutte e tre le radici). In effetti, non puoi semplificare la tua espressione radicale da recuperare$z=2$analiticamente; devi indovinare la radice razionale in anticipo (o fare un'ipotesi equivalente che coinvolge un'altra equazione cubica strutturata in modo simile, come discusso in un'altra risposta).
Quando metto la tua espressione per$z$in una calcolatrice ottengo$2.000000...$, che sembra abbastanza vicino al valore previsto di$z=2$.