Se$A$è quindi un operatore autoaggiunto$(A(u),u) \geq 0$?

Question

Permettere$H=(H, (\cdot, \cdot ))$essere uno spazio di Hilbert sopra$\mathbb{R}$e$A : D(A) \subset H \longrightarrow H$, insieme a$\overline{D(A)}=H$, un operatore lineare autoaggiunto. Supponiamo$ A $ha solo un autovalore negativo$\lambda<0$, con autovettore associato$v \in D(A)$, Poi abbiamo$A(v)=\lambda v$.

Domanda. Per tutti$w \in D(A)$tale che$(w,v)=0$noi abbiamo$$(A(w),w) \geq 0?$$

Quello che devo pensare è: se$w \in D(A)$è tale che$(w,v)=0$poi$$0=(w,\lambda v)=(w, A(v))= (A(w),v) $$ma non sono riuscito a concludere nulla.

Answer 1

La risposta è no per un operatore lineare generale, sì per un operatore compatto. Il motivo è quello$A$potrebbe avere uno spettro non puntuale sull'asse reale negativo (questo non è possibile se$A$è compatto).

Per un esempio concreto, considera$H = L^2(-1,1), A(u)(x) = x(u(x) - \bar u) - \bar u$, dove$\bar u = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 u(x) dx$è la media. Quindi$A$è limitato e autoaggiunto e ha l'autovalore$\lambda = -1$con autofunzione$v(x) = 1$e nessun altro autovalore. Ora imposta$$ w(x) = \begin{cases} 1 \quad (x > -1/2) \\ -3 \quad (x \le - 1/2) \end{cases} $$
Quindi$\langle w, v \rangle = 0 = \bar w$e$Aw(x) = \begin{cases} x \quad (x > -1/2) \\ -3x \quad (x \le - 1/2) \end{cases}$. Perciò$$ \langle Aw,w \rangle = \int_{-1}^{-1/2}9x dx + \int_{-1/2}^1 x dx \, .= -3 $$