Se $f: \mathbb N \rightarrow \mathbb N \times \mathbb N $ ad esempio $f(n)=(n,n+1)$ È suriettivo e / o iniettivo?

Question

Se $f: \mathbb N \rightarrow \mathbb N \times \mathbb N $ ad esempio $f(n)=(n,n+1)$ È suriettivo e / o iniettivo?

So che è suriettivo $\Leftrightarrow \forall (a,b) \in \mathbb N \times \mathbb N \exists c \in \mathbb N:f(c)=f(a,b)$

Ovviamente è iniettiva perché se $(n,n+1)=(m,m+1) \rightarrow n=m$

Vedo che non è surrogato ma non so come dimostrarlo, posso farmi aiutare?

Answer 1

Tener conto di $(1,1)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. Supponiamo per contraddizione che esista$n\in\mathbb{N}$ con $f(n)=(n,n+1)=(1,1)$. Quindi leggendo la prima voce, otteniamo$n=1$. Leggendo la seconda voce, otteniamo$n+1=1\implies n=0$. Chiaramente non possiamo averlo$n=1$ e $n=0$allo stesso tempo. Contraddizione. Quindi$f$ non è suriettivo.