Se$f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$continuo su linee rette e$f(\text{compact})= \text{compact}$, poi$f$continuo?

Aug 23 2020

Permettere$f:\mathbb{R}^2$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}$essere una mappa tale che

  1. $f$è continua su tutti i segmenti (vale a dire, per tutti$a,b$ $\in$ $\mathbb{R}^2$,$t$ $\mapsto$ $f(at+b)$è continuo), e

  2. Se$K$ $\subset$ $\mathbb{R}^2$è compatto, quindi la sua immagine$f(K)$è compatto.

Quindi$f$è continuo.

Ho provato a dimostrarlo, ma non ci sono riuscito. Puoi darmi un suggerimento?

Risposte

2 timon92 Aug 23 2020 at 19:20

Suggerimento: correggi$x\in\mathbb R^2$e$\varepsilon>0$. Per ogni raggio$\ell_\varphi=\{x+(t\cos \varphi, t\sin\varphi) \colon t\in[0,\infty)\}$permettere$g(\varphi)=\inf\{t \colon |f(x)-f((t\cos \varphi, t\sin\varphi))|>\varepsilon\}$. Supponiamo che esista n$\delta>0$insieme a$d(x,y)<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon$. Scegli una sequenza$\varphi_n$tale che$\lim_{n\to\infty} g(\varphi_n)=0$. Per tutti$n$scegliere$t_n$tale che$g(\varphi_n)<t_n<g(\varphi_n)+\frac 1n$e$|f(x)-f(x_n)|<\varepsilon+\frac 1n$dove$x_n=x+(t_n\cos\varphi_n,t_n\sin\varphi_n)$(questo può essere fatto dalla prima condizione). Consideriamo allora l'insieme$K=\{x\} \cup \{x_n \colon n=1,2,\ldots\}$e ottenere una contraddizione con la seconda condizione.

7 PeterFranek Aug 23 2020 at 19:53

Sì. Supponi il contrario. WLOG,$f(0)=0$è discontinuo e trova$x_n\to 0$tale che$f(x_n)$non converge a zero. Se$f(x_n)$è illimitato, allora l'immagine del compatto$\{0\}\cup \{x_n\}$non è compatto. Così$f(x_n)$è limitato. Scegli una sottosequenza$x_n'$tale che$f(x_n')$converge a$c\neq 0$. Se$c\neq f(x_n')$per ciascuno$n$, abbiamo finito, perché$\{0\}\cup \{x_n'\}$è compatto e l'immagine no.

Ora per ciascuno$n$dove$c=f(x_n')$, usiamo la continuità sulla linea$\{tx_n'\,| t\in R\}$e trova un numero$x_n'' = t_n x_n'$per alcuni$0< t_n < 1$affinché$f(x_n'')=c(1 - \frac{1}{n})$. Se$f(x_n')\neq c$, lasciamo$x_n'':=x_n'$. Allora$f(x_n'')$converge ancora a$c$,$x_n''$converge ancora a$0$, ma l'immagine di$\{0\}\cup \{x_n''\}$non è compatto.