Se $(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ sono continui e convergono a $f$ pointwise, must $f$essere Riemann integrabile? [duplicare]
Sto cercando di risolvere la seguente domanda
Vero o falso? Se$(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ è una sequenza di funzioni continue a cui converge $f$ puntualmente, allora $f$ è Riemann integrabile e $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$
Con l'aiuto dei commenti ho trovato questo controesempio, ma spero che ce ne sia uno più semplice.
Se sostituiamo gli integrali di Riemann con integrali di Lebesgue, il risultato è vero per il Teorema di convergenza dominata. Ciò implica che se$f$ è Riemann Integrable, quindi davvero $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$ Quindi, cercando un controesempio, dovremmo cercare di trovarne uno dove $f$ non è integrabile con Riemann.
Grazie mille per qualsiasi aiuto.
Risposte
Il classico controesempio è il seguente: $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$. Permettere$f_n(x)=\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$ (che esiste perché è il limite di una sequenza decrescente positiva), allora o esiste $n_0$ tale che $f_{n_0}$ non è integrabile con Riemann, il che costituisce un controesempio perché $x\mapsto\cos(n! \pi x)^{2m}$ è integrabile con Riemann per tutti $m$, o il $f_n$ sono tutti integrabili con Riemann, ma da allora $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ non è integrabile con Riemann e $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)$, allora questo è un controesempio.