Se formula $\phi$ dimostra una contraddizione $\bot$ allora abbiamo $\vdash\phi\to\bot$?
Sto cercando di insegnare a me stesso un po 'di logica per mezzo di "A Friendly Introduction to Mathematical Logic" di Leary e Kristiansen.
Si concentra sulle formule nel senso che gli assiomi non sono necessariamente frasi.
Le regole di interferenza praticate in quel libro sono PC (conseguenza proposizionale) e la regola del quantificatore QR che lo afferma da$\psi\to\phi$ possiamo dedurre $\psi\to\forall x\phi$ Se $x$ non è gratuito in $\psi$.
Permettere $\mathcal{L}$ essere una lingua del primo ordine, lascia $\bot$ denotano alcuni $\mathcal{L}$-frase del modulo $\psi\wedge\neg\psi$ e lascia $\phi$ fagiolo $\mathcal{L}$-formula.
Poi $\Sigma:=\left\{ \phi\right\} $ è per definizione incoerente se c'è una deduzione da $\Sigma$ per $\bot$.
Ora la mia domanda:
Se $\left\{ \phi\right\} $ è incoerente, quindi si può dimostrare che anche: $\vdash\phi\to\bot$?
Mi è chiaro che la risposta è "sì" se $\phi$ è una frase perché allora possiamo applicare il teorema della deduzione.
Ma cosa succede se $\phi$ non è una frase?
La mia prova:
Se $\tilde{\phi}$ denota una chiusura universale di $\phi$ poi $\left\{ \tilde{\phi}\right\} \vdash\phi$ in modo che per transitività di $\vdash$ noi abbiamo $\left\{ \tilde{\phi}\right\} \vdash\bot$ e il teorema di deduzione applicabile che abbiamo $\vdash\tilde{\phi}\to\bot$.
Ma questo sposta il problema solo su un'altra domanda:
Se c'è una detrazione $\vdash\tilde{\phi}\to\bot$ poi c'è anche una detrazione $\vdash\phi\to\bot$?
Grazie in anticipo e mi scuso se questa domanda è un duplicato.
Risposte
Non ho letto il libro di Leary e Kristiansen ma attualmente sto leggendo "Introduzione alla logica matematica" di Mendelson, quindi spero di poter rispondere alla tua prima domanda.
Per quanto riguarda la tua prima domanda che afferma "se una formula ϕ (essendo ϕ: ψ ∧ ¬ ψ) dimostra una contraddizione ⊥ allora abbiamo ⊢ ϕ → ⊥?" Posso rispondere: effettivamente una formula che afferma ψ ∧ ¬ ψ ci farà concludere ⊥, questa formula (ψ ∧ ¬ ψ) → ⊥ è un teorema, ecco una dimostrazione della formula usando regole di deduzione naturale:
1) ψ ∧ ¬ ψ - presupposto
2) ψ - regola E∧ in 1
3) ¬ ψ - regola E∧ in 1
4) ⊥ - in 2,3
5) (ψ ∧ ¬ ψ) → ⊥ - regola I → in 1,4
Se guardiamo la tavola di verità di ψ ∧ ¬ ψ tutti i valori sono falsi, ciò significa che, non solo (ψ ∧ ¬ ψ) → ⊥ è una tautologia, ma anche (ψ ∧ ¬ ψ) → X (dove X è un formula arbitraria) è una tautologia. Se una formula dimostra una contraddizione, devi esaminare tutte le formule.
Per quanto riguarda la tua seconda domanda, non sono abbastanza sicuro di dare una risposta, sto attualmente leggendo il capitolo due del libro di Mendelson (logica del primo ordine), quindi condivido il tuo dubbio.