Se$\int\limits_a^bf(x)dx=0$per tutti i numeri razionali$a<b$, poi$f(x)=0$ae [duplicato]
Permettere$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$essere una funzione integrabile.
Mostra che se$\int\limits_a^bf(x)dx=0$per tutti i numeri razionali$a<b$, poi$f(x)=0$tutti quasi ovunque.
Suggerimento: prima prova$\int\limits_Af=0$per$A$un insieme aperto, quindi per$A$misurabile.
Il mio tentativo: Let$A$un set aperto$\mathbb{R}$. Allora possiamo scrivere$A=\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)$dove$\left\{(a_k,b_k)\right\}_{k=1}^{\infty}$è una raccolta disgiunta di intervalli aperti con punti finali razionali (è possibile?)
Così$\int\limits_Afdx=\int\limits_{\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)}fdx=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a_k}^{b_k}fdx=0$
Quindi come dovrei usare il risultato per essere misurabile$A$e inoltre, dopo averlo fatto, lo fa$\int\limits_{\mathbb{R}}f=0$implica$f=0$eh?
Apprezzo il tuo aiuto
Risposte
Penso che sia semplice. Permettere$A=\{x:f(x)\not=0\}$ $B=\{x:f(x)=0\}$
$\mu (D)$è la misura dell'insieme$D$. Sappiamo$\mu (A)=0$e$\mu (B)=b-a$. Integrale di Lebesgue:$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{A} f(x)d\mu+\int_{B} f(x)d\mu=0$Perché$\int_{A} f(x)d\mu=0$( perché$f(x)=0$quasi ovunque) e$\int_{B} f(x)d\mu=0$
Puoi fare un trucco classico per definire la collezione
$$ \mathcal{E}:=\{ A\in \mathcal{B}_\mathbb{R}: \int_A fdx=0 \}, $$
e poi mostralo$\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$. Da$f$è misurabile il risultato finale desiderato seguirà perché altrimenti$\pm \int_{B_\pm} fdx>0$dove$B_\pm=\{x\in\mathbb{R}: \pm f(x)>0\}$.
Puoi verificarlo in seguito$\mathcal{E}$è un$\sigma$-algebra, quindi se lo mostri$A\in \mathcal{E}$per qualsiasi insieme aperto$A$, quindi seguirà quello$\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$.
Infine, poiché gli intervalli con estremi razionali sono una base numerabile della topologia$\mathbb{R}$, per qualsiasi open$A\subseteq \mathbb{R}$esiste una raccolta di intervalli con estremi razionali,$\{ (a_k,b_k) \}_{k=1}^\infty$tale che$A=\cup (a_k,b_k)$. Usando il DCT, lo ottieni$\int_A f =0$.