Se ogni funzione continua a valori reali definita su $K$ è limitato, quindi $K$ è compatto

Aug 15 2020

Sto cercando di risolvere la seguente domanda dalla sezione dell'analisi reale :

  1. Permettere $K$ essere un sottoinsieme non vuoto di $\mathbb R^n$ dove $n > 1$. Quale delle seguenti affermazioni deve essere vera?

(I) Se $K$ è compatto, quindi ogni funzione continua a valori reali definita su $K$ è limitato.

(II) Se ogni funzione continua a valori reali definita su $K$ è limitato, quindi $K$ è compatto.

(III) Se $K$ è compatto, quindi $K$ è connesso.

La prova per (I) è standard. Sto cercando di vedere (II) per contraddizione.

È possibile inquadrare una dimostrazione per (II) seguendo queste linee:

Supponiamo $K \subseteq \mathbb R^n$non è compatto. Allora esiste una copertura aperta$\mathcal C$che non ha sottocopertura finita. Ma$f: K \to \mathbb R$è continuo. (...) Contraddizione.

Risposte

4 Mark Aug 15 2020 at 22:07

Un sottoinsieme di $\mathbb{R^n}$è compatto se e solo se è chiuso e delimitato, questo è un risultato standard. Supponiamo ora che ogni funzione continua a valori reali definita su$K$è limitato. In particolare, la funzione$f(x)=||x||$ è limitato $K$, quindi $K$ è un insieme limitato.

Quindi dobbiamo solo provare $K$è chiuso. Beh, supponiamo che non lo sia. Poi c'è un punto$y\in\overline{K}\setminus K$. Definire$f:K\to\mathbb{R}$ di $f(x)=\frac{1}{||x-y||}$. Questa è una funzione continua che non è limitata, una contraddizione.

UmeshShankar Aug 15 2020 at 22:32

Vorrei solo aggiungere che se l'intervallo fosse i reali dotati della metrica limitata, $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$, allora l'affermazione non è vera per gli spazi metrici anche se il $Dom(f)$ soddisfatto la proprietà Heine-Borel.