Se$\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$. Quindi calcola$\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$. Qui$i=\sqrt{-1}$
DOMANDA: Se$\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$,$\text{ }$poi calcola$$\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$$Qui$i=\sqrt{-1}$.
LA MIA RISPOSTA: l'ho fatto usando la formula quadratica e il teorema di De Moivre. Lasciami scrivere il mio lavoro prima di proporre il mio dubbio.. Ecco come l'ho fatto..
Risolvendo l'equazione otteniamo$$x^2-(i\sqrt{2})x-1=0$$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2} \pm \sqrt{(i\sqrt{2})^2+4}}{2} $$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2}\pm\sqrt{2}}{2}$$Prendere$x=(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)=e^{\frac{i\pi}4}$
Ora lo sappiamo$2187=(273\times8)+3$
$$\therefore x^{2187}=e^{2187\times \frac{i\pi}4}=e^{(273\times 2\pi + \frac{3\pi}4)i}=e^{\frac{{3\pi}}{4}i}=\frac{i-1}{\sqrt{2}}$$
$$\therefore x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}= \frac{i-1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{i-1}$$ $$=\frac{(i-1)^2-2}{(i-1)\sqrt{2}}$$ $$=\frac{2}{\sqrt{2}}\frac{(1+i)}{(1-i)}$$ $$=\frac{\sqrt{2}}{2} (1+i)^2$$ $$=\boxed{\sqrt{2}i}$$
Ora la mia prima domanda è che la relazione quadratica ci ha dato due valori diversi per$x$. Uno con cui ho lavorato per raggiungere la risposta di$\sqrt {2}i$e l'altro,$\big(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\big)$che mi ero lasciato alle spalle. Ora lavorando con quello scopro che l'angolo risulta essere$\frac{\pi}{10}$e le cose diventano molto più complicate dopo. La risposta ufficiale a questo è$\sqrt{2}i$(che corrisponde a quello che ho scoperto).
Il mio dubbio è perché non consideriamo l'altro valore di$x$?
E c'è qualche metodo alternativo (preferibilmente più semplice) per risolvere questo?
Grazie mille per il tuo aiuto e supporto .. :)
Risposte
$2187=3^7$. Questo è un indizio. Poteri di$3$sono significative. Adesso$$\left(x-\frac1x\right)^3=(i\sqrt2)^3=-2i\sqrt2$$e$$\left(x-\frac1x\right)^3=x^3-\frac1{x^3}-3\left(x-\frac1x\right) =x^3-\frac1{x^3}-3i\sqrt2.$$Così$$x^3-\frac1{x^3}=i\sqrt2.$$Ripetendo questo,$$x^9-\frac1{x^9}=i\sqrt2,$$ $$x^{27}-\frac1{x^{27}}=i\sqrt2$$ecc. Alla fine,$$x^{2187}-\frac1{x^{2187}}=i\sqrt2.$$
Infatti, è facile verificare che entrambi i valori di$x$dare lo stesso risultato. Per l'intero problema, hai solo bisogno della formula di De Moivre due volte (due righe di carta senza spiegazione).
Per$x=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$, hai mostrato che la risposta è$i\sqrt 2$.
Adesso molla$x=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i=\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}$. Usando la formula di De Moivre e il fatto che$$z-\frac{1}{z}=2i\sin(\arg(z))$$ottieni$$x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}} = x^3-\frac{1}{x^3} = 2i\sin\frac{9\pi}{4}=i\sqrt 2$$Fatto!