Se$\widehat{M}$è un libero$\widehat{R}$-modulo di rango$n$poi$M$ha un gruppo elettrogeno di$n$elementi come un$R$-modulo.

Aug 18 2020

Con riferimento alla mia ultima domanda If$\widehat{M}$è un libero$\widehat{R}$-modulo, quindi$M$è un libero$R$-modulo,$R$è un anello Zariski. Voglio fare la seguente domanda.

Permettere$R$essere un anello Zariski con$I$-adica topologia,$I \subset J(R)$. Permettere$M$essere finitamente generato$R$-modulo tale che il$I$completamento -adico$\widehat{M}$è un libero$\widehat{R}$-modulo di rango$n$. Allora come posso dimostrarlo$M$ha un gruppo elettrogeno di$n$elementi come un$R$-modulo.

Ho bisogno di aiuto.

Risposte

2 MaximeRamzi Aug 17 2020 at 22:37

Ritenere$n$generatori di$\widehat M$,$x_1,...,x_n$.

Permettere$y_1,...,y_n$denotare la loro immagine in$M/IM$. Quindi,$y_1,...,y_n$creare$M/IM$.

Infatti,$\widehat M\to M/IM$è suriettiva ($M\to \widehat M\to M/IM$è suriettiva), quindi if$z\in M/IM$, permettere$w$essere qualsiasi antecedente,$w= \sum_i \lambda_i x_i$implica che$z =\sum_i \mu_i y_i$, insieme a$\mu_i$l'immagine di$\lambda_i$sotto$\widehat R\to R/I$.

Ma ora da allora$I\subset J(R)$, il lemma di Nakayama ti dice che qualsiasi antecedente di$y_1,...,y_n$creare$M$(qui, usa il presupposto che$M$è finitamente generato)